一个数学家团队解决了一个重要问题，即多项式方程的解如何与被称为Shimura变体的复杂几何物体相关联。
模块化曲线的插图，一维版本是Shimura品种。
9月份发布的一份引人注目的证明中，三名数学家解决了一个名为André-Oort猜想的30年问题，并推进了数百年来对理解多项式方程解的探索。这项工作借鉴了几乎横跨该领域的想法。
伦敦大学学院的Andrei Yafaev说：“我想说，用于解决这个问题的方法涵盖了整个数学。”
新论文从数学中最基本但最具挑衅性的问题之一开始：像x3+ y3=z3这样的多项式方程什么时候有整数解（正数和负数计数数的解）？1994年，Andrew Wiles在20世纪的数学大胜利之一中解决了这个问题的一个版本，即Fermat的最后一个定理。
为了解决Fermat的最后一个定理和类似问题，数学家们发展了越来越抽象的理论，引发了新的问题和猜测。Yves André和Frans Oort分别在1989年和1995年提出的两个这样的问题导致了现在被称为André-Oort猜想。André-Oort猜想不是问多项式方程的整数解，而是关于涉及被称为Shimura变体的更复杂的几何物体的解。
在过去的几十年里，许多数学家一直在研究这个问题。2014年，Yafev和Bruno Klingler证明了这一点，但还是接住了。他们的结果取决于黎曼假说的真实性——但这个著名的棘手问题仍未解决。
牛津大学的Jonathan Pila、威斯康星大学的Ananth Shankar和多伦多大学的Jacob Tsimerman的新论文以最终的解决方案解决了这一差距。它还进一步证实了33岁的蒂默曼的才华，他被广泛认为是他这一代的顶尖数学家之一。
Yafaev说：“Jacob Tsimerman有能力理解一切。”
各种品种
André-Oort猜想是关于代数变种的，在最基本的层面上，代数变种只是一个多项式方程或其集合的所有解的集合（或图表）。
半径1的圆是一个变体：其点的坐标是多项式x2+ y2= 1的解。线y= 0也是一个变体。这两个点（1，0）和（−1，0）的交集——仍然是前两个嵌套的第三个变体。
安德烈-奥尔特猜想的核心品种是一种重要的类型，称为西村品种。虽然Shimura品种有几种不同类型的，但最简单的与被称为椭圆曲线的关键数学对象有关（如y2= x3+ 1，或y2= x3+ 3x+ 2））。
这些Shimura品种上的点都编码了构建椭圆曲线的食谱。但还有其他更复杂的岛村品种，其结构不那么简单。很难找到关于他们的信息。
北京大学的刘若川说：“你对普通西村品种的结构知之甚少。”
André-Oort猜想就是一个问题：Shimura变体的基本结构是什么，而Shimura变体本身支撑了许多现代数学？
特殊要点
请记住，品种可以生活在品种中，就像一条线和一条圆的非切线交点形成两个点的亚品种一样。André-Oort猜想询问了生活在Shimura品种中的品种。它通过关注岛村品种的特定元素来做到这一点。
在Shimura品种上，每个点代表另一个品种，例如椭圆曲线。其中一些曲线比其他曲线更对称，而那些对称曲线在Shimura变量上由数学家所谓的“特殊点”表示。
André-Oort猜想是关于这些特殊点是如何分布的。想象一下，从Shimura品种开始。把它想象成一个三维形状。接下来，在它的表面上蚀刻一条曲线。这条曲线是一个变体，尽管不一定是西村变体。但根据André-Oort的猜测，如果这条曲线不断遇到特殊点，它本身一定是Shimura品种。
Tsimerman说：“这是一种非常干净的几何解释。”
以不同的方式陈述，André-Oort猜想在蚀刻曲线不是Shimura变体的情况下做出了预测。然后，它可能遇到的特殊点数有一个上限。多年来，数学家一直在试图验证André和Oort预测的上限。在21世纪末，乔纳森·皮拉引入了一种计算特殊积分的新方法，从而在建立它方面取得了重大进展。
皮拉的进步
为了证明André-Oort的猜测，Pila需要大致了解各种特殊点的数量。他通过给点分配一个被称为“高度”的数量来做到这一点。高度衡量特定点或值的复杂性。以数字10和10.000017为例。一方面，它们非常相似，但另一方面，它们显然非常不同。
“这两个都是理性的数字，而且规模非常接近。但其中一个比另一个复杂得多，”Shankar说。
量化这种复杂性的一种方法是将这些数字转换为简化分数。数字的高度是该分数的分子或分母的绝对值——以较大者为准。作为一个分数，数字10与
10
1
，所以10的高度是10。但将10.000017重写为分数的最简单方法是
10,000,017
100万
。这使它的高度约为1000万。还有其他测量高度的方法（事实证明，这一事实对新作品的作者来说是一个主要挑战）。
为了证明André-Oort的猜测，Pila需要证明生活在Shimura品种中的非Shimura品种没有很多特殊之处。身高是做到这一点的有用工具。
要了解原因，请考虑高度最多为2的有理数。尽管有无限多的有理数，绝对值为2或更少，但其中只有7个足够简单，高度为2或更少：0，1，
1
2
、2或他们的一个负面因素。一般来说，如果您能证明一组有理数的高度有上限，那么您已经证明了该集具有有限数量的元素。
这样，高度与绝对值大不相同。Pila利用了这种差异，用不同的实数识别了Shimura品种上的每个特殊点。然后，他证明了这些相关的真实数字不太复杂——它们的高度不可能太大。这意味着与特殊点相关的实数有限。由于每个特殊点对应于一个不同的实数，因此只能有有限数量的特殊点。
Pila的方法巧妙地避免了在Shimura品种本身上计算高度。相反，他研究了实数的高度，并将实数与西村变体联系起来。但这种策略仅适用于非常简单的岛村品种。
为了证明安德烈-奥尔特对所有西村品种的猜测，他和其他人需要想出一种直接测量高度的方法。
环球高地
当皮拉在安德烈-奥尔特猜想上取得令人兴奋的新进展时，蒂默曼仍然是普林斯顿大学的研究生。他已根据他的顾问Peter Sarnak的建议开始解决这个问题。Pila也是Sarnak的学生，当他于2009年回到普林斯顿分享他的新发现时，他和Tsimerman成功了。
Tsimerman说：“从那以后，他和我一直在努力。”
他们面临的最大障碍是编织许多不同的高度测量方法。例如，有时数学家通过查看数字的素数而不是其绝对值来定义数字的大小。为了回答André-Oort的猜测，作者首先需要将这些复杂性的定义翻译成Shimura变体。
皮拉和蒂默曼在这方面取得了部分进展。但进一步推进需要他们不太熟悉的复杂数学思想。特别是，他们需要找到一种方法，将所有这些不同的高度测量方法组合成一个连贯的数字（这将确保他们考虑到了点可能彼此差异的所有方式）。
Tsimerman知道Shankar有完成这项工作所需的数学经验，并邀请他于2020年8月加入合作。三位作者就这个问题工作了几个月，但进展停滞不前。
Shankar说：“有时我们似乎很接近；有时似乎有一些根本障碍很难克服。”去年冬天，他们决定后退一步，认为他们会在其他地方取得更好的进展。
几个月后，Shankar在看到Groechenig的演讲后，介绍Pila和Tsimerman由多伦多大学的Michael Groechenig和柏林自由大学的Hélène Esnault工作。他怀疑他们的结果——加上Gal Binyamini和其他人的工作——可以帮助证明所有不同的身高概念都以三位作者需要的方式融合在一起。
一旦Esnault和Groechenig添加到他们之前的工作中，这种预感就变得正确了。然后，Pila、Shankar和Tsimerman使用扩展版本来证明对于任何类型的Shimura品种来说，特殊点的高度永远不会太大。有了这个，安德烈-奥尔特猜想的完整证据触手可及。
Tsimerman说：“从某种意义上说，报纸的笑点清晰可见，就像一年半前一样，但要让它发挥作用，就需要开发这种复杂的机器，这需要很长时间才能正确。”
今年秋天，皮拉、香卡尔和蒂默曼终于发布了该论文。他们证明，任何生活在Shimura品种中的品种，如果没有Shimura品种本身，就不能有太多的特殊之处。
虽然仔细阅读和验证论文需要时间，但数学家已经在反思其影响。例如，如果论文的想法可以更广泛地应用，它们可能会扩展20世纪80年代关于一个被称为莫德尔猜想的问题的主要结果——这一壮举将引发数字理论中新结果的雪崩。
刘说：“这是一个突破，绝对是一个突破。
