这是一道关于导数极限的高数证明题。证明函数在趋于无穷大时，若函数的极限和导数的极限都存在，那么导数的极限就一定等于0. 事实上，其内涵是，单调递增的上凸函数，若趋于正无穷大的极限存在，则导数的极限等于0；单调递减的下凸函数，若趋于正无穷大的极限存在，则导数极限等于0. 趋于负无穷大时，则单调性相反。
下面老黄要用三种证明方法来证明这个定理，每一种方法都是越来越复杂的，但后面复杂的证明方法涉及到的知识更贴近高数极限的本质，也更严谨。前面的简便方法很容易出来不严谨的地方。老黄资质愚钝，绝非神人，出错也是经常的事情。只是与诸君共探讨，未敢妄称人师！
证明：设f在(a,+∞)可导，若lim( x→+∞)f’(x), lim( x→+∞)f(x)都存在, 则(lim)( x→+∞)f’(x)=0.
证1：记lim( x→+∞)f’(x)=B, lim( x→+∞)f(x)=A. 则
B=lim( x→+∞) lim( h→0) (f(x+h)-f(x))/h【运用了导函数的定义极限公式】
=lim(h→0) lim( x→+∞) (f(x+h)-f(x))/h=0, 得证！【交换了极限的次序。因为两个极限都存在，所以可以交换极限的次序】
证2：任取[x,x+1]⊂(a,+∞), 由拉格朗日中值定理知,
存在一点ξ∈(x,x+1), 使得f’(ξ)=f(x)-f(x-1),
当x→+∞时, ξ→+∞, x+1→+∞,
lim(ξ →+∞)f’(ξ)=lim(x→+∞)f(x)-lim(x+1→+∞)f(x+1)=0.【改变自变量的符号，并不改变极限的本质】
证3：由柯西收敛法则知：对∀ε>0，总存在M>a，
使对∀x1,x2>M时，有|f(x1)-f(x2)|<ε/2, |f’(x1)-f’(x2)|<ε/2,
当x>M时，由拉格朗日中值定理知：
存在ξ∈(x,x+1)使f(x+1)-f(x)=f’(ξ)，
∴lim( x→+∞)f’(x)=0.【运用了极限最原始的定义】
同理可证x→-∞时，命题也成立. 也可以对任意符合定理的函数补充负区间的定义，使之成为一个偶函数，由偶函数的性质，就可以知道x→-∞时，命题也成立.
这三种证法，有两种是老黄自创的，只有一种是教材上介绍的。你能猜到哪两种证法是老黄独创的吗？
