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已知5a+b=9, 求a^2+2b^2的最小值

主要内容:

通过中值法、代入法、导数法等不同方法,详细介绍求代数式a^2+2b^2在5a+b=9条件下最小值的计算步骤。

※:中值法

设5a=9/2+k,b=9/2-k,则:

f(a,b)

=a^2+2b^2

=(9/10+k/5)^2+2(9/2-k)^2

=51k^2/25-2*441k/50+4131/100

=51/25*(k-147/34)^2+54/17。

将其看成为k的抛物线方程,开口向上,可知,当取对称轴k=147/34时,f(a,b)有最小值,即:

f(a,b)min=54/17。

※:代入法

∵5a+b=9,

∴b=9-5a,代入所求代数式得:

f(a,b)=a^2+2b^2

=a^2+2(9-5a)^2

=51a^2-2*90a+162

=51*(a-30/17)^2+54/17。

可知,当a=30/17时,f(a,b)有最小值,即:

f(a,b)min=54/17。

※:导数法

根据题意,构造如下函数:

设g(a,b)=a^2+2b^2+λ(5a+b-9),

分别对a,b求偏导数得:

g(a,b)a=2a+5λ,

g(a,b)b=4b+λ,

g(a,b)λ=5a+b-9

令g(a,b)a=g(a,b)b=g(a,b)λ=0,得b=a/10。

又因为5a+b=9,所以a=30/17,b=3/17.

则f(a,b)min=(30/17)^2+2*(3/17)^2

=54/17。

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