高数问题到底能有多简单! 你敢说这不是复杂化的幼儿园问题吗?

数学是帮助人们了解这个世界的一种工具，而众多的数学工具中，高数无疑是最合适的一种。因为对一部分人来说，它难但又不至于太难，一般有高中文化程度的人，都能看懂。对另外一部分人来说，它容易但也不至于太容易，无论你的水平有多高，都还是要花一点时间和精力去探究思考，才能想明白的。

比如下面这道关于开覆盖到底是有限的开覆盖，还是无限的开覆盖的问题，多少就还是有点伤脑筋的，不过也不至于太伤脑筋，看懂了，你的智力水平，就有可能得到一定程度的提升。

设H={(1/(n+2), 1/n)|n=1,2,…}是一个无限开区间集，问：

(1)H能否覆盖(0,1)?

(2)能否从H中取出有限个开区间覆盖(0,1/2)?

(3)能否从H中取出有限个开区间覆盖(1/100,1)?

注：所谓覆盖，就是被覆盖的点集中，每一个点都包含在覆盖住它的区间集的至少一个区间中。而这个区间集通常取的是开区间集，因此也称为开覆盖。如果这个开区间集中的开区间形式的元素是有限的，那么就称为有限开覆盖。如果这个开区间集中的开区间元素是无限的，那么就称为无限开覆盖。这个问题细想，其实就是一个复杂的幼儿园问题。

解：(1)对任意x∈(0,1), 存在n, 使1/(n+2)【高数中有很多这样扯不明白的问题。像是(0,1)和H在做“勇士与乌龟”的赛跑。(0,1)说，我有一个极小的正数x。H就说，放心，我有一个n，使得1/(n+2)比x更小。(0,1)又说，我的x小到比你的1/(n+2)更小。H说，有多小啊？(0,1)说，1/(n+3), 这么小。H笑着说，就这，我还有一个n+2, 使得1/(n+4)比你的1/(n+3)更小。然后两者就这样没完没了地扯下去，不论x有多小，H总能找到一个比它小的数覆盖住它，这就形成了无限开覆盖。右端点就不需要这么扯，不论(0,1)说，我有一个多接近1又小于1的x，H都只要说“我有右端点1”就够了】

(2)对H中任意有限个开区间，设其中左端点最小为1/(N+2),【由(1)可知，H是(0,1)的无限开覆盖，是由左端点0造成的，(0,1/2)仍有左端点0，所以只能是无限开覆盖。假如H先出牌“1/(N+2)”，那么(0,1/2)就会说，慢点，我有比它小的】

则当0【这就是(0,1/2)暂时取得优势的时候，但不要高兴得太早，因为H只要是一个无限开区间集，它始终就有办法，夺回这个优势，取得最终的胜利。只是这个“最终”到底是什么时候？那是到天荒地老的时候，进入微观世界去观察，1秒大于1亿年，别说是你了，宇宙的尽头都看不到结局】

∴不能从H中取出有限个开区间覆盖(0, 1/2).【最终就证明了，只有H是无限开区间集，才能覆盖住(0,1/2)】

(3)记H’={(1/(n+2), 1/n)|n≤99}, 且(1/3,1)U(1/4,1/2)U…U(1/101,1/99)=(1/101,1),【现在排除了左端点0，那么H只要出到比新的左端点1/100小的牌，比如1/101，就有可能实现有限开覆盖了】

任意x∈(1/100,1)⊂(1/101,1),

∴H能取出有限个开区间覆盖(1/100,1).【所以不能有限开覆盖左端点0，不是0本身的问题，是H的能力不够的问题。所以当你学不好高数的时候，别老是说“高数太难”】

怎么样？你还敢说这不是复杂化的幼儿园问题吗？