当前位置:首页 > 教育资讯

“化圆为方”的证明有了新突破, 不断发现前人无法想象的新数学

有一所“几何大学”,在这所大学,学生学习了很多几何,但很少学习算术。几何大学举办了一个“做蛋糕”的比赛,要求尽可能把蛋糕做大,最终由评委判定出胜负。

A组做出的蛋糕尺寸是:16厘米长,9厘米宽。B组的蛋糕则是一个边长为12厘米的正方形。

A组队长说,我们的蛋糕比你们的长得多,显然我们的蛋糕更大,所以我们赢了。

“但是你们长方形的短边比我们正方形的边长短得多,”B组队长说。“我们的蛋糕显然更大,赢家应该是我们。

评委觉得争论这个很奇怪。她说:“矩形蛋糕的面积是9乘以16,等于144平方厘米。正方形蛋糕的面积是12乘以12,也是144平方厘米。蛋糕的大小是一样的,这是平局。”

两支队伍看起来都很困惑,

我们不明白你说的‘乘’是什么意思。

其中有人说,我听说算术学院的学生曾经用数字测量过面积,但这到底是什么意思?

评委该怎么办?如果他们不知道如何测量面积和乘法,她怎么能让参赛者相信他们的蛋糕是一样大的呢?评委想了想说,给我一把剪刀。

评委从长方形蛋糕的两条长边量出了12厘米,把大矩形变成了两个小矩形:一个是9 × 12,另一个是9 × 4。然后,她又把9乘4的一块变成了3个更小的3乘4的小块。

现在两队相信他们的蛋糕是一样大的。这样的“分割”在几何中已经被使用了几千年,用来表示图形是相同大小的。即使在今天,数学家仍然使用分割和重新排列来充分理解某些形状何时是相同的,这导致了一些令人惊讶的结果。

我们知道,平行四边形的面积等于它的底长乘以高,这是因为平行四边形可以被分割并重新排列成矩形。

比赛继续。C组带着一个巨大的三角形蛋糕过来了。“我们获胜者,”他们大胆地宣布。“我们两边都比他们的边长得多。”

评委说,你们蛋糕的面积和A、B组的也相同。“这是一个直角三角形,直角边长度分别是18和16,所以面积是……”评委顿了一下,注意到每个人脸上困惑的表情。“哦,没关系,把剪刀给我。”一顿操作如下,

果不其然,得到的矩形是9乘16,和A组的一样大。

B组对此表示怀疑。“但是这个三角形和我们的正方形比起来怎么样?”他们的队长问道。

评委早就准备好了。“我们已经知道矩形和正方形是一样大的,所以根据传递性,三角形和正方形是一样大的。”传递性是等式最重要的性质之一:它说的是,如果a = b和b = c,那么a = c。评委继续说,

如果第一个蛋糕的面积等于第二个蛋糕的面积,第二个蛋糕的面积等于第三个蛋糕的面积,那么第一个和第三个蛋糕的面积也必须相等。

或者我们可以再做一些削减。首先,评委旋转了原来是三角形的矩形。然后她用A组用过的矩形图案切割它。

然后她展示了如何将C组的三角形分解成B组的正方形,就像她对A组的矩形所做的一样。

在这种情况下,我们说三角形和正方形是“剪刀全等”:想象用剪刀把一个图形切成有限的多个小块,然后再重新排列成另一个。在三角形和正方形的例子中,蛋糕准确地展示了剪刀的一致性的原理。

注意,它可以把三角形变成正方形,也可以把正方形变成三角形。换句话说,剪刀全等是对称的:如果形状A与形状B是剪刀全等的,那么形状B与形状A也是剪刀全等的。

事实上,上面关于三角形、矩形和正方形的论证表明,剪刀全等也是可传递的。因为三角形与矩形是剪刀全等,矩形与正方形是剪刀全等,所以三角形与正方形是剪刀全等。

如果把三角形切成构成矩形的小块,然后再把矩形切成构成正方形的小块,得到的小块可以用来形成这三种形状中的任何一种。

剪刀全等可传递这一事实,是一个惊人结果的核心:如果两个多边形有相同的面积,那么它们就是剪刀全等的。这意味着,给定任意两个具有相同面积的多边形,你总是可以将其中一个切割成有限数量的小块,然后重新排列它们以生成另一个。

这个著名定理的证明也非常简单。首先,将每个多边形切成三角形。

第二步,把每个三角形都变成矩形,就像评委重新排列三角形蛋糕一样。

现在到了棘手的技术部分:将每个矩形转换为一个单位宽的新矩形。

要做到这一点,首先从矩形上切下一个单位宽的部分。

如果你能把矩形切成宽度为1的整数块,就大功告成了。否则,当最后一片的宽度在1到2个单位之间时停止切割,将剩下的堆叠在一起。

如果矩形本身的宽度小于1个单位,不要担心,只要把它切成两半,用这两部分做一个新的矩形,它的长度是原来的两倍,宽度是原来的一半。重复操作,直到得到一个1到2单位宽的矩形。

现在想象最后一个矩形:高h宽w, 并且1

然后沿着虚线从一个角切到另一个角,并在hw × 1矩形的右边缘下面切下一个小三角形。

这将把h × w矩形切成三块,可以重新排列成一个hw × 1矩形。

最后,把最后一个矩形放在顶部,这就成功地把这个多边形变成了一个宽度为1的矩形。

现在如果原多边形的面积是A,那么这个矩形的高一定是A,所以每个面积为A的多边形与一个宽为1高为A的矩形是剪刀全等的,这意味着如果两个多边形的面积为A,那么它们都与同一个矩形是剪刀全等的,因此根据传递性,它们彼此是剪刀全等的。这表明,每个面积为A的多边形与其他面积为A的多边形剪刀全等。

还剩下一个π小组,他们的蛋糕是一个圆。

评委知道,要把一个圆切成有限的小块,再重新排列成正方形、矩形或任何多边形,是不可能的。1964年,数学家莱斯特·杜宾斯、莫里斯·赫希和杰克·卡鲁什证明了圆与任何多边形都不是剪刀全等的。

数学家们把这个障碍变成了新的数学。1990年拉茨科维奇证明了,只要你能使用无限小、无限不连续、无限多的锯齿状碎片,就可以把圆切成正方形。

尽管拉茨科维奇的结果令人惊讶和兴奋,但它只是证明了这种分割在理论上是可能的。它没有解释如何构造这些碎片,只说它们可以存在。这就是Andras Máthé,Oleg Pikhurko and Jonathan Noel登场的地方:2022年初,他们发表了一篇论文,在论文中,他们的结论与拉茨科维奇的一样,但用的是可以可视化的作品。

不幸的是,你不能用他们的结果来评定任何蛋糕烘焙比赛。剪刀无法分割所需的10^200个碎片。但是,从阿基米德第一次发现π开始,在回答一长串问题方面又向前迈进了一步。它促使我们不断发明或发现前几代人无法想象的新数学。

本文来自网络,不代表教育资讯立场,转载请注明出处。