大家好！本文和大家分享一道2008年高考数学真题。这是当年全国2卷理科数学的第21题，也就是倒数第二道解答题。这道题考查了椭圆的标准方程、直线方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积公式以及基本不等式等知识。整体来说，这道题的难度不大，对于学霸，这道题应该是要求拿满分的。
先看第一小问：求k的值。
由于椭圆的两个顶点是A(2,0)、B(0,1)，所以a=2，b=1，即椭圆的标准方程为x^2/4+y^2=1。
为了方便分析，我们先画出图形，见下图：
由于k＞0，且根据两向量的关系可知，点E、F分别在第三象限和第一象限。设D(x0,y0)、E(x1,kx1)、F(x2,kx2)，那么有x1＜0＜x2。于是联立椭圆与直线AB的方程，消去y，就可以解出x1、x2的值。
接下来对两向量的处理是关键，很多同学看到这个关系后就将两向量坐标表示出来，然后再找关系，或者直接用平行向量的坐标表示来解题。这样做是没有问题，但是计算就复杂了，其实对这两个向量的处理我们只需要找其横坐标的关系就行了，这样就简化了计算。
又由于点D在直线AB上，所以其横纵坐标满足直线方程，这样就可以再得到一个关系，从而解出k的值。
再看第二小问：求四边形AEBF面积的最大值。
由于四边形AEBF是不规则四边形，所以我们可以采取分割的方法求解，下面分享两种解法。
解法一：
根据题意可知，线段AB的长度是固定不变的，所以我们可以从AB将四边形分割成两个三角形ABE和ABF，而求这两个三角形面积时，又可以AB为底，高就是点E、F到直线AB的距离，于是用点到直线的距离公式就可以求出高。
求出的高含有x1、x2，利用第一小问解出的x1、x2就可以变成只含有k的表达式。然后将两个三角形的面积相加就得到了所求四边形的面积S，即S=(2k+1)/√(4k^2+1)。接下来只需要求出S的最大值即可。
求S的最大值，可以用基本不等式，也可以用导数。用基本不等式计算更简单，但变形是关键。用导数，计算更复杂，但不需要变形。
解法二：
由题意知，|BO|=1，|AO|=2，所以我们也可以将四边形AEBF分割成以BO、AO为边的四个小三角形，即△AOE、△AOF、△BOE、△BOF。前面两个小三角形的面积可以AO为底，以点E、F的纵坐标的绝对值为高计算，后面两个小三角形的面积可以BO为底，点E、F的横坐标的绝对值为高计算。然后再用基本不等式就可以求出S的最大值了。
这道题的难度不算大，对学霸来说拿满分并不是难事。你觉得呢？
