大家好！本文和大家分享一道高难度印度初中数学竞赛题。题目：求所有满足下面这个方程的三元正整数与(x，y，z)：x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-63。
一个方程求三个未知数，难度非常大，正确率不足5％，不少学霸都直接放弃了。下面一起看一下这道题。
一个方程多个未知数，因式分解是一个重要方法。我们先来看一道比较简单的题目：已知a、b为正整数，且a+b+ab=54，求a+b的值。
要解这道题，首先也是要进行因式分解。如果将a和ab分为一组，那么可以提公因式a，得到a(b+1)+b=54。很明显，左右两边同时加1，则可以分解为：(a+1)(n+1)=55，然后就可以得到a+b的值。
再回到这道印度竞赛题，也可以考虑用因式分解的方法。
要将这个方程除常数项外分解因式，那么可以将左边的三个四次看成二次的平方，而右边恰好是这三个二次的乘积的2倍，这就是三项的完全平方。即：
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)。
不过，将方程右边这几个移到左边就变成了减，所以应该是相减的三个的完全平方。即：(x^2-y^2-z^2)^2。
整理一下这个完全平方，可以发现方程右边需要加上4y^2z^2。然后再通过平方差公式进行两次因式分解即可得到：
(x+y-z)(x-y+z)(y+z-x)(x+y+z)=63。
分解到这一步就和前面华罗庚竞赛题类似了，所以接下来需要对63分解因数。63的正因数有1，3，7，9，21，63。所以63=1×1×1×63=1×1×3×21=1×1×7×9=1×3×3×7。
接下来需要进行分类讨论。
因为x、y、z均为正整数，所以x+y+z是4个因数中最大的那一个，因此可以按照x+y+z的值来讨论。很明显，x+y+z的值只能为63、21、9、7中的一个或者几个，所以只需要分四大类进行讨论。
比如说，当x+y+z=63时，其余三个因数只能为1，从而解得x+y+z=3，与前面的条件矛盾，故舍去。
再如当x+y+z=9时，另外3个因数必有1个数为7，另外两个数为1。但是哪个为7呢？所以还需要继续进行讨论。
当然，这道题也可以先快速找出x+y+z的可能值，再进行讨论就可以减小计算量。怎么快速找出x+y+z的值呢？
前面的方程因式分解后，除开x+y+z这一项，其余三项之和刚好也等于x+y+z，所以只需要判断两个x+y+z的值是否相等就可以了。
比如当x+y+z=21时，其余三个因数为1、1、3，所以另外三项加起来就应该为5，即x+y+z=5，很明显是矛盾的。用这个方法可以快速排除一些情况，简化计算。
