在如今的高考中,解方程已经很少单独出题了,但是在以前的高考中,解方程一直是考试的重点。本文就和大家分享一道1957年高考数学解方程组的真题。这道题看起来难度并不大,但是错误率却很高,只因不少同学都忽略了两个知识点。
我们先来看一下一些同学的思路和解法。
要解这个方程组,首先需要对两个方程进行对数和指数的运算。
根据对数的加法法则,即logaM+logaN=logaMN,可将第一个方程变形得到:(2x+1)(y-2)=10,展开后得到:2xy-4x+y-12=0。
根据同底数指数幂的运算法则,即a^m·a^n=a^(m+n),可将第二个方程变形为:xy=x+y。
因为xy=x+y,所以y=x/(x-1),代入第一个方程变形后的式子并整理可得:2x^2+7x-12=0。此时用求根公式解出x的值,再进一步代入y=x/(x-1)解出y的值就得到了方程组的解。
上面是不少同学的解法,但是很不幸的是上面的解法是不对的,而且有两个很明显的错误。
一是对第一个方程的处理,直接得到了(2x+1)(y-2)=10的式子,但是却忽略了对数的真数部分必须为正数的要求,即少了2x+1>0和y-2>0这一对限制条件。
二是由xy=+y得到y=x/(x-1)时,忽略了x-1≠0的条件,也就是说必须分类讨论才完整。
这道题的正确解法应该是怎么样的呢?其实只需要对上面的错误解法进行优化即可。
首先还是需要进行变形,变形的方法与前面错误做法差不多,只是再加上2x+1>0和y-2>0这两个条件。这样第一个方程才有意义。
其次在消元的时候避开讨论。那应该怎么做呢?先用第一个方程变形得到的方程减去第二个方程变形后方程的2倍,即可得到:2x-3y+12=0。此时可以用x表示y,即y=2x/3+4。这样做的好处就在于不需要进行分类讨论,直接计算即可。
接下来将y=2x/3+4代入xy=x+y中,整理后得到:2x^2+7x-12=0,解得x=(-7-√145)/4(由2x+1>0可以得到x>-1/2,所以这个x的值要舍去),或者x=(-7+√145)/4。然后将得到的x的值代入y=2x/3+4,即可得到y=(17+√145)/4。
整体来说,这道题作为高考题的难度并不算大,但是一些同学在解题过程中容易犯下两个错误从而导致丢分,其实也是基础知识掌握不牢固所致。比如对数的真数为正数,再比如解方程后验根等等。
这道题就和大家分享到这里,如果是你,你能得满分吗?