主要内容:
本文主要介绍三角函数的复合函数y=√sinx的定义域、单调性、凸凹性等性质,并通过导数方法计算函数的单调区间和凸凹区间。
※.三角函数的定义域
∵sinx≥0
∴2kπ≤x≤2kπ+π,
即函数的定义域为:
[2kπ,(2k+1)π],k∈Z.
※.三角函数的单调性
∵y=√sinx
∴y'=dy/dx=cosx/(2√sinx).
令dy/dx=0,则cosx=0,即:
x=kπ+π/2,得x=(2k+1)π/2;则:
(1).当x∈[2kπ,(2k+1)π/2]时,
y'≥0,此时函数y为增函数;
(2).当x∈((2k+1)π/2,(2k+1)π]时,
y'<0,此时函数y为增函数。
※.三角函数的凸凹性
∵dy/dx=cosx/(2√sinx)
∴y"
=(1/2)[-sinx√sinx-cosx*cosx/(2√sinx)]/(sinx),
=(-1/2)(2sin2x+cos2x)/(√sin3x),
=(-1/2)(sin2x+1)/(√sin3x)。
又因为sinx≥0,所以y"≤0。
则函数y在定义域上为凸函数。