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分数复合函数y=1/x(21x^2+2)主要性质归纳总结

主要内容:

介绍分数函数y=1/x(21x^2+2)的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质,并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间。

函数定义域及值域:

因为y=1/x(21x^2+2),所以分母不为0,观察分母函数特征,可知自变量x不为0,所以函数的定义域为(-∞,0),(0,+∞)。

由于函数的分子为1,所有该函数y≠0,故函数的值域为(-∞,0),(0,+∞)。

函数的单调性:

由y=1/x(21x^2+2),对x求导得:

dy/dx=-[(21x^2+2)+x*42x]/[x(21x^2+2)]^2,

dy/dx=-(63x^2+2)/[x(21x^2+2)]^2<0,

即函数y在定义上为减函数。

函数的凸凹性:

由dy/dx=-(63x^2+2)/[x(21x^2+2)]^2,再次对x求导得,

d^2/dx^2

=-{126x[x(21x^2+2)]^2-2(63x^2+2)[x(21x^2+2)](21x^2+2+42x^2)}/[x(21x^2+2)]^4,

=-[126x^2(21x^2+2)-2(63x^2+2)(63x^2+2)]/[x(21x^2+2)] ^3,

=-2[63x^2(21x^2+2)-(63x^2+2)^2]/[x(21x^2+2)] ^3,

=4(1323x^4+63x^2+2)/[x(21x^2+2)]^3,可知,

当x>0时,d^2/dx^2>0,此时函数y为凹函数;

当x<0时,d^2/dx^2<0,此时函数y为凸函数。

函数的极限:

lim(x→-∞) 1/x(21x^2+2)=0,

lim(x→0-) 1/x(21x^2+2)=-∞,

lim(x→0+) 1/x(21x^2+2)= +∞,

lim(x→+∞) 1/x(21x^2+2)=0,

函数的奇偶性

因为f(x)=1/x(21x^2+2),

所以f(-x)=1/{(-x)*[21(-x)^2+2]},即:

f(-x)=-1/x(21x^2+2)=-f(x).

所以函数为奇函数,关于原点对称。

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