讲数图形
数图形问题,简单来说就是给出一个图形,要求数出线段、角、三角形、正方形等几何图形的个数。
数图形,关键要做到不重复、不遗漏,这不仅需要我们具备一定的观察、分析能力,还要求我们掌握一定的知识和特殊方法。
1.按照顺序或规律数,这样不易遗漏。
2.先数基本形有多少,然后再数由基本图形组合成的图形,这样不易重复。
3.记住一些基本公式。线段的个数=1+2+3+…+n(n等于基本线段的条数,也等于直线中的点数减去1);正方形的个数=m×n+(m-1)×(n-1)+(m-2)×(n-2)+…+1×1(m表示横行基本正方形的个数,
n表示竖列基本正方形的个数);长方形的个数=(1+2+3+…+m)×(1+2+3+…+n)(m表示横行基本长方形的个数,n表示竖列基本长方形的个数)。
【例1】数一数,下图中有多少条线段?
【思路导航】方法一:我们把两点之间没有其他端点的线段称为基本线段。
图中有6个点,5条基本线段,可以按线段所包含的基本线段的条数来分类,分别进行计数。
(1)由1条基本线段组成的线段有5条:AB、BC、CD、DE、EF。
(2)由2条基本线段组成的线段有4条:AC、BD、CE、DF。
(3)由3条基本线段组成的线段有3条:AD、BE、CF。
(4)由4条基本线段组成的线段有2条:AE、BF。
(5)由5条基本线段组成的线段有1条:AF。
所以线段共有5+4+3+2+1=15(条)。
方法二:图中有6个点,5条基本线段。
(1)以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE、AF,共5条。
(2)以B为端点的线段有BC、BD、BE、BF,共4条。
(3)以C为端点的线段有CD、CE、CF,共3条。
(4)以D为端点的线段有DE、DF,共2条
(5)以E为端点的线段有EF,共1条。
所以线段共有5+4+3+2+1=15(条)。
答:线段共有15条。
【例2】数一数,下面图形中各有多少条线段?
【思路导航】(1)由一长一短两个图形组成,长的图共有4个点,3条基本线段;短的图共有3个点,2条基本线段。那么一共有线段1+2+3+1+2=9(条)
(2)这个五角星由5条线组成,每条线上有4个点,3条基本线段,那么一条线上共有1+2+3=6(条)线段,5条线一共有6×5=30(条)线段。
解:(1)1+2+3+1+2=9(条)
(2)(1+2+3)×5=30(条)
【例3】8路短线公交车从起点到终点,中间有9个站点。这条线路上以各站点为端点可以数出多少条不同的路段?
【思路导航】从起点到终点,中间有9个站点,加上起点和终点,共11个站点,10条基本路段,因此可以数出55条不同的路段。
解:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(条)
【例4】数一数,下图中共有多少个角?
【思路导航】方法一:图中有5条射线,4个基本角。
(1)由1个基本角组成的角有4个:∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE。
(2)由2个基本角组成的角有3个:∠AOC、∠BOD、∠COE。
(3)由3个基本角组成的角有2个:∠AOD、∠BOE。
(4)由4个基本角组成的角有1个:∠AOE。
所以,图中共有4+3+2+1=10(个)角。
方法二:(1)以OA为边的角有4个:∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE。
(2)以OB为边的角有3个:∠BOC、∠BOD、∠BOE。
(3)以OC为边的角有2个:∠COD、∠COE。
(4)以OD为边的角有1个:∠DOE。
所以,图中共有4+3+2+1=10(个)角。
解:4+3+2+1=10(个)
【例5】数一数,下图中共有多少个三角形?
【思路导航】先看上面的三角形ABC中,有3个基本图形,共有1+2+3=6(个)三角形。
再看三角形ADE中,同样有3个基本图形,共有1+2+3=6(个)三角形。
一共有(1+2+3)×2=12(个)三角形。
解:(1+2+3)×2=12(个)
【例6】数一数,下图中共有多少个长方形?
【思路导航】数长方形的个数时,分层数比较简单。我们可以先数出一层有多少个,再数出有几层,然后将每一层长方形的个数相加就行了。
此题中,上面一层以CB为宽的长方形有3+2+1=6(个);下层以BA为宽的长方形也有6个;将两层合在一起,以AC为宽的长方形还有6个。
3个6相加,这样一共就有18个长方形。
解:(3+2+1)×3=18(个)
【例7】数一数,右图中共有多少个正方形?
【思路导航】由一个基本正方形组成的正方形有9个,由4个基本正方形组成的正方形有4个,由9个基本正方形组成的正方形有1个。
所以不同正方形的总数为9+4+1=14(个)。
解:9+4+1=14(个)
【例8】右图中一共有几个长方形?几个三角形?几条线段?
【思路导航】先看长方形,一共有4个基本长方形。
由1个基本长方形组成的长方形有4个,由2个基本长方形组成的长方形有4个,由4个基本长方形组成的长方形有1个,所以长方形一共有4+4+1=9(个)。
再看三角形,一共有8个基本三角形。
由1个基本三角形组成的三角形有8个,由2个基本三角形组成的三角形有4个,由4个基本三角形组成的三角形有4个,所以三角形一共有8+4+4=16(个)。
最后看线段。观察发现每条线段上都有3个点,2条基本线段,所以线段一共有(1+2)×8=24(条)。
解:长方形共有4+4+1=9(个),三角形共有8+4+4=16(个),线段共有(1+2)×8=24(条)。
【例9】数一数,右图中共有多少个小方块?
【思路导航】可以一列一列地数。先数最多的两列,每列有3个,共6个;再数中间的两列,每列2个,共4个;最后数最少的两列,共有2个。
所以一共有6+4+2=12(个)。也可以一层一层地数,但无论怎么数,都是12个小方块。
解:6+4+2=12(个)
【例10】有70个小方块,最多可以摆成多少个下面的图形?
【思路导航】图形的上一层有3个小方块,下一层有5个小方块,一共是3+5=8(个)。
摆一个图形用了8个小方块,70÷8=8(个)……6(个),70个小方块可以摆8个上面的图形,还余下6个小方块。
解:70÷8=8…6,最多能摆成8个图形。
【例11】将8个小方块摆成如图所示的“丁”字形,再将表面都涂成黑色,然后把小方块分开。
(1)3面被涂成黑色的小方块有几个?
(2)4面被涂成黑色的小方块有几个?
(3)5面被涂成黑色的小方块有几个?
【思路导航】整个图形被涂成黑色,只有连在一起的面没有被涂色。
最中间的小方块被涂了3面,三端的3个小方块被涂了5面,剩余的4个小方块被涂了4面。如图所示。
答:(1)3面被涂成黑色的小方块有1个。
(2)4面被涂成黑色的小方块有4个。
(3)5面被涂成黑色的小方块有3个。
数学改变科技，向数学出发。
