数列与放缩法是高考的常考点，对于不少同学来说也是难点，特别是放缩法的应用。本文就和大家分享一道1985年高考理工农医类数学卷中关于数列与放缩及极限的真题。这道题位于全卷八道大题(第九题为附加题)中的第七道大题，题目的难度还是比较大的，难住了不少的考生。
先看第一小题。
要证明这个不等式成立，很明显需要对an进行放缩处理，但是究竟该怎么放缩呢？这就是本题的难点了。
先观察不等式左边这部分，代数式n(n+1)/2刚好就是1+2+3+……+n的值，所以左边这部分很容易放缩，即√n(n+1)＞n，所以an＞1+2+3+……+n=n(n+1)/2，左边就可以证明出来了。
这一问的难点在不等式右边部分的证明。但是有了左边的启发，那么右边也可以采用类似的放缩，即√n(n+1)＜n+1，那么an＜2+3+4+……+(n+1)=n(n+1+2)/3=n(n+3)/2≤(n+1)^2/2。这样就可以证出不等式的右边部分。
下面再介绍另外一种放缩方法。
根据基本不等式，可知：
√n(n+1)＜[n+(n+1)]/2=(2k+1)/2。
所以：an＜3/2+5/2+……+(2n+1)/2
=[3+5+7+……+(2n+1)]/2
＜[1+3+5+7+……+(2n+1)]/2
=(n+1)(2n+1+1)/2/2
=(n+1)^2/2。
另外，这一问还可以用数学归纳法证明。
①先通过计算验证n=1时，不等式成立。
②假设当n=k时，不等式成立，即：
k(k+1)/2＜ak＜(k+1)^2/2。
接下来证明当n=k+1时，不等式仍然成立。
a(k+1)=ak+√(k+1)(k+2)＞ak+(k+1)＞k(k+1)+(k+1)=(k+1)[(k+1)+1]/2，即左边成立。
a(k+1)=ak+√(k+1)(k+2)＜ak+[(k+1)+(k+2)]/2＜(k+1)^2/2+[(k+1)+(k+2)]/2=[(k+1)+1]^2/2，即右边成立。
综上即可证出完整的不等式。
再来看第二小题。
本题要求bn的极限非常简单，但是用定义法证明却难住了不少同学。
先来看数列极限的定义：对数列{an}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立，那么称a是数列{an}的极限。
所以先根据第一问的不等式表示出bn的不等式，即1/2＜bn＜1/2+1/2n，所以|bn-1/2|=bn-1/2＜1/2n。要使|bn-1/2|＜ε对任意正数ε都成立，只需1/2n＜ε，即n＞1/2ε。取N为1/2ε的整数部分，则bn的第N项后都满足|bn-1/2|＜ε，根据数列极限的定义得证。
本题就和大家分享到这里了。
