开尔文勋爵在谈到这个积分时写道。"一个数学家对他来说就像两倍于二的四对你来说一样明显"。
我假设你知道一些基本的积分和微分。下面的内容将为后面的巧妙技巧增加一些直觉感知。如果其中有些内容稍微有点令人费解，也不用担心，只要试着感觉一下我所说的就好了。
这里的方法是做一个巧妙的替换。但我们要做的是两个变量的替换。你可以把当前的问题想象成计算曲线下的面积：
但我们要说明的是，这个问题也可以变成计算体积的问题。
为了计算体积，我们使用了一个与普通积分略有不同的变量变化公式。我们将使用极坐标。这是用半径和角度来表示x和y坐标的。
在计算曲线下的面积时，有一个元素 "dx"，它代表了沿x轴的一个小距离。当计算体积时，有dx dy，这就像一个边长为dx和dy的小矩形。然后用这些元素来构造一系列估计体积的“块”。这一点在下面的视觉效果中最容易看到。积分是这些近似值的极限。
当使用极坐标系统时，有一个稍微不同的面积元dA。随着角度和半径的微小变化，这个面积元可以越来越好地被一个边长分别为dr和r*dθ的矩形所近似。对于小的θ， sin(θ)可以很好地被theta所近似，然后你可以证明下面的结果：
求解积分
首先给积分起个名字，我们叫它I。
注意，x只是一个 "哑变量"，无论使用什么变量名称，面积都是存在的。因此，我们也可以写出以下两道方程式：
现在，由于I只是一个常数，尽管我们还不知道它的值，我们可以使用正常的规则将一个常数带入积分中：
到目前为止，我们还没有做什么实质性的工作。现在我们要认真思考一下积分的含义。我们取函数的积分。如果两个函数在任何地方都取相同的值，那么它们就是相同的，并且有相同的面积。考虑到这一点，如果把I*exp(-x^2)看作是x的函数，也就是说，把x的值作为输入，并给出一个数字作为输出，我们就可以进行以下运算：
我承认，这有点难以接受。在第一行中，只是用一个不同的变量名重写了I的积分形式。在第二行，将I*exp(-x^2)视为一个函数，我们意识到可以将exp(-x^2)带入dy积分中，这样对于任何x的输入值都会得到相同的输出值。
把它完整地写出来，就是：
接下来就是考验洞察力的时候了。上面我们对变量名和如何表示一个函数的问题进行了讨论。现在换个角度：这个表达式也表示了整个二维平面上exp(-(y^2+x^2))的积分，面积元素dA=dx dy。也就是说，dxdy是一个平面上的小矩形，而exp(-(y^2+x^2))是这个矩形上面的高度。
接下来，使用极坐标表示：
由于sin^+cos^1=1，得到：
r的范围从0到无穷大，theta的范围从0到2*pi，因为这覆盖了整个二维平面：任何点的半径都小于无穷大，角度在0到2pi弧度之间。
我们可以用链式法则计算内积分：
最后得到：
