好几天没陪孩子做作业了,国庆长假已过去大半,该收收心了,毕竟期中考试就在不远处等着呢?
今天这道几何题同样是题干极短、图形极简:如图,△ABC中,AD是BC上的高,AB+BD=AC+CD,求证△ABC为等腰三角形。
如果我们学过了勾股定理,直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方,而RT△ABD和RT△ACD又共用一个直角边AD,就很容易得出一个等量关系:
AB2-BD2=AC2-CD2
这是一个完全平方差公式,转化后就是
(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
已知AB+BD=AC+CD
所以AB-BD=AC-CD
两个等式左侧和右侧分别相加,就会得到2AB=2AC
所以AB=AC,△ABC为等腰三角形。
可初二第一学期还没学到勾股定理,我们只能想办法用全等三角形的方法来证明。
我们还从已知AB+BD=AC+CD入手,分别延长DB、DC至E、F,使AB=BE,CF=AC,再分别连接AE和AF,形成图形二。
在RT△ADE和RT△ADF中
AD=AD
∠ADE=∠ADF
DE=DF
所以RT△ADE≌RT△ADF,AE=AF,∠E=∠F
为了书写方便,我们再给图中将用到的几个角标数字,如图三
∵AB=BE
∴∠E=∠1=∠2
∵AC=CF
∴∠F=∠3=∠4
∵∠E=∠F
∴∠1=∠2=∠3=∠4
在△ABE和△ACF中
∠1=∠3
AE=AF
∠2=∠4
所以△ABE≌△ACF,AB=AC
所以,△ABC为等腰三角形
难度说大不大,说小不小,关键就在于截长补短的运用。