无穷（无限）是对有穷（有限）而言的。无穷不仅是哲学和天文学的重要课题，而且也是数学的重要课题，数学分析在一定意义上就是“无限的科学”。在数学发展史上，几次数学基础的危机都同无穷有直接关系。
数学中的无穷主要是无穷过程、无穷大、无穷小、无穷集合、无穷序数和无穷基数。其中无穷过程、无穷大与无穷小起源于古代人们的直观，它们数学后，通过人们的思维 加工，形成了数学中的潜无穷与实无穷概念。无穷集合、无穷序数和无穷基数则是在数学相当发展的基础上再次抽象而成的数学概念，均属于实无穷范畴.因此，数学中无穷的历史实际是潜无穷与实无穷在数学中合理性的历史。
古希腊奴隶社会形成时期，盛行关于“万物本原”的学说。在这些学说中，阿那克西曼 德（約公元前610〜546 ）认为万物的基本元素是一种不具备任何规定性的特殊物质，这种物质既不冷又不热、既非水又非气，他把这种物质称为“无限”。这是最早出现的“无限”概念，它到底是什么，十分费解。所以无限从一开始就是以纯粹思辨的形式出现的。在它产生的初期，主要是哲学家的重要课题，如物质的无限性，时间和空间的无限性等。在数的概念形成的基础上，人们逐渐给予“无限” 一种新的含义：它并不是一种具体的物质，而是与 "有限”相对立的量的既念，从此它才成为数学研究的一个重要方面。
在希腊奴隶制的繁荣时期，社会上出现了一批以教授智慧为职业的"智者”（Sophists）, 这些“智者”实际是一批职业教育家、科学家和哲学家。智者中的相当一批人对“几何三大 难题”颇感兴趣.曾研究过“化圆为方”问题的阿那克萨哥拉（约公元前500- 428）,也许受该问题的启发，认为客观事物都是无限可分的，这是数学中最早的潜无穷思想。智者安提丰（约公元前五世纪）明确提出用圆的内接正方形的边数不断加倍的方法可以无限逼近圆的面积。几乎同时，布赖森提出用圆的内接与外切正多边形来逼近圆的面积。这些都是潜无穷 想在数学中的应用，但是没有见到他们的具体计算。
对安提丰等的思想作出重大发展的是欧多克斯（公元前408-355 ）和阿基米德（公元前287-212 ） 0他们二人提出了 17世纪时被人命名的“穷渴法”。欧多克斯用穷竭法曾经证明椎体时体积等于与它同底高柱体体积的1/3。阿基米德不仅用安提丰的思想，从圆的内接与外切正六边形算起，算到96边形时得出：
而且还用穷竭法算出球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及旋转抛物面的体积等一批相当难的数学问题。阿基米德的穷竭法是古代潜无穷思想的高峰。
潜无穷思想在我国也产生得很早，战国时代《庄子》一书中的“一尺之”就是脍炙人口的一个。三国时代的刘徽在应用这一思想时有所发展一注意到无穷进展能够完成，并把他 的这一思想应用于计算“弧田”的面积、“阳马”的体积以及开方运算，但是最典型的计算是用“割圆术.计算圆的面积。刘微肯定圆内接正六边形的面积随边数不断加倍而逐渐增 加，但永远不会大于圆的面积；同时又明确指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣.刘微从单位圆的内接正六边形算起，算到正192边形，得 出π = 3.14。南北朝时期的祖冲之在刘微工作的基础上已求得3.1415926<π<3.1415927，这是无穷思想的应用，也是当时的最好成就。
在无穷的历史上，潜无穷产生的同时也产生了它的孪生兄弟一实无穷。《庄子》 一书中曾有"至大无外谓之大一，至小无内谓之小一"的记载。这段话的意思是说：当大到 没有边界（无外）时就叫"大一"，当小到没有内部（无内）时叫做"小一"。既是大到无 外，就表示已经完成了的总体，所以“大一”，就是实无穷大；如果小到没有内部，表示分割已经穷尽，显然是实无穷小。
在古希腊流行的学说中，除以安提丰与阿基米德为代表的潜无穷思想外，还有原子论的学说。原子论者认为，客观事物都存在不可再分的原子，而物体均由其原子堆积而成。这里的原子就是数学中的实无穷小。有的数学史记载，原子论者德谟克利特曾利用这一思想算出 圆锥与棱锥的体积，但是没有记载具体方法。原子论思想对数学特别是对积分思想的产生影响极大。有人认为，从那时开始，"固定无穷小量的观念就顽固地粘附在数学上了，每当逻辑无济于事的时候，直观就常常会求助于它。
在实无穷概念的发展史上，柏拉图（约公元前427-347 ）的思想是不能忽视的。在柏拉图那里，“理念世界”是一个整体，它容纳一切，包罗万象，是唯一真实的存在；人们对现实 世界的任何知识（包括数学知识）都是理念世界的组成部分。所以那种不能通过经验方法直 接获得而要通过思维才能把握的实无限观念就是合理的。如果我们剔除柏拉图的唯心主义外壳而保留其合理内核，那么柏拉图作为实无穷论者是自然的。事实上，柏拉图的这种思想往往成为后来数学中实无穷的哲学根据。
潜无穷是对一个个具体有穷的否定，实无穷作为完成了的整体又是对潜无穷的否定。所以无穷的发展总是遵照"有穷——潜无穷——实无穷”这样一个否定之否定的规律发展的。潜无穷与实无穷乃是一个矛盾的两个方面，二者既对立又统一。既如此，片面地坚持其中一 从而否定另一个必然产生不可克服的矛盾。芝诺的四个悖论就是在这种情况下提出的。如果 我们立足无穷的观点，芝诺的四个悖论在客观上是对上述两种无穷观的质拟：“二分法”"与"阿基里斯追龟”是对片面坚持潜无穷的质拟；“飞矢”与“运动场”则是对片面坚持实无穷的质拟。因为你若坚持潜无穷，你就必须"先走一半”，再走"一半的一半"，于是陷于无穷，而当时的数学认为，无穷多个非零之数的和必为无穷大，从而人们永远不能渡过一条 河，善跑的阿基里斯永远追不上乌龟。这个結论自然是荒谬的，结论的荒谬说明前提潜无穷的破产。
同样如果坚持原子论的立场，飞矢在一个时间原子的瞬间就是静止的了，同时一半的时间也可等于它的一倍了。“飞鸟之影未尝动也是荒唐的”，在有限的条件下，部分等于全体也是不可想像的，这些结论的错误说明其前提——实无穷是错误的。不管芝诺提出这四个悖论的真实目的如何，在客观上掲露出片面的坚持潜无穷或坚持实无穷都会产生矛盾。所以从欧几里得以后，以追求严密性为目标的希腊数学对两种无穷均采取排斥的态度。从此，“无 限成为一种禁忌，不惜任何代价，务必拒之门外。”
在无穷的认识史上，亚里士多德（公元前384-322 ）第一个明确地指出，研究无穷同研究有穷一样具有同样重要的意义。他说，"既然研究自然是研究空间的量、运动和时间的， 其中每一个必然不是无限的就是有限的，因此，所有有名的哲学家，凡是接触过这门自然 哲学的都讨论过有关无限的问题。
亚里士多德第一次把无穷明确地区分为潜无穷与实无穷两种形式。他认为前者的特点是"此外永有"，而后者的特点则是“此外全无”。他在对无穷作了这些区分之后明确指出，无穷只能是"潜能上的存在”，而不是实在的存在，可见，在对待两种无限的态度上他同柏拉图的无限观相反，对实无穷采取排斥的态度。他的理由是，说无限潜在地存在，意思并不是说，它会在什么时候现实地具有独立的存在，它的潜在的存在只是对知识而言。因为，分割的过程永远不会告终，这件事实保证了这种活动潜在地存在， 却并不保证无限独立地存在。亚里士多德进一步认为，如果坚持潜无限而否定实无限，不会对数学造成任何困难，他说，“这对数学家的证明工作是没有什么影响的"。
如果说在亚里士多德以前，两种无穷主要是哲学问题，用它们解决数学问题是个别的， 那么自亚里士多德以后，无穷正式进入数学，且成为数学和数学基础研究的一个焦点。
