下面这个说法并不矛盾：我们越是偏重于理论方面，我们距离实际应用就越近。
19世纪的代数有两个看上去似乎针锋相对的特征。一个是越来越一般化、越来越抽象的趋势；另一个是专注于一些受约束的表达式，这些约束界定得比此前几个世纪更加小心谨慎。这种表面上的针锋相对，直接关系到19世纪的代数学家们提出并希望回答的问题在种类上的改变。
19世纪上半叶，代数学概念在英国的发展从根本上不同于欧洲大陆。阿贝尔、伽罗华及其他大陆数学家在致力于未解决问题并采用现有的成功方法时发展出了一些新概念。另一方面，跟阿贝尔和伽罗华同时代对代数学做出贡献的英国人，着手确立一种作为“论证科学”的代数学。自17世纪以来，数学家们就注意到，无论是高等分析学还是代数学，都没有达到我们在几何学中发现的那种严谨程度。
英国的代数学和函数的运算微积分
剑桥分析学会从前的成员乔治·皮考克，拿出了第一部“旨在赋予代数学以论证科学品质”的重要作品。为了实现这个目标，皮考克提出了重估算术与代数之间的关系。算术没有被视为代数学的基础，而“只能被看作是一门‘暗示的科学’，让代数学的原理和运算适应于它，但既不被它所限制，也不被它所决定。”因此，皮考克把“算术”代数与“符号”代数分离开来。算术代数的基础是数，它的运算是算术运算。然而，符号代数是一门科学，仅仅依据确定的法则来看待标记与符号的结合，完全独立于符号本身的具体值。
布尔与逻辑代数
在三一学院的两位数学家哈密顿和凯莱发展两种新类型代数学的同时，一位基本上属于自学成才的英国人乔治·布尔发明了第三种、根本上完全不同的代数学。1847年，布尔出版了一本篇幅不长的著作，题为《逻辑的数学分析》，德·摩根认为这本小书是划时代的作品。
逻辑学的历史可以用稍嫌简单的方式分为三个阶段：（1）希腊逻辑学，（2）经院逻辑学，（3）数理逻辑学。在第一阶段，逻辑表述由平常语言的词汇构成，服从于常规语法。在第二阶段，逻辑学开始以人工语言的使用为标志，在这样的语言中，单词和符号非常狭隘地限制了语义功能。在前两个阶段，逻辑学定理都源于平常的语言，而第三阶段的逻辑学则向完全相反的方式进行。尽管莱布尼茨有时候被视为后面这种观点的先驱，但它的全盛时期实际上应该是布尔的第一本著作，以及德·摩根的《形式逻辑》出版的那一年。特别是布尔的作品，强调了逻辑学应该与数学关联起来，而不是像苏格兰的威廉·汉密尔顿爵士所主张的那样，与形而上学联系在一起。
比他的数理逻辑更加重要的是布尔对数学本身的看法。在《逻辑的数学分析》的导言中，作者反对当时流行的观点，即把数学看作是量或数的科学。布尔支持一种更加一般的观点，他写道：
我们完全可以认为它具有真正微积分的决定性特征：它是一种依赖于符号使用的方法，这些符号的组合规则是已知的、通用的，其结果允许有前后一致的解释。……它建立在这个一般原则的基础之上，我提议建立逻辑学的微积分，我认为它有资格在数学分析的公认形式当中拥有一席之地。
皮考克1830年的《代数学》暗示，代数学中对象的符号未必代表数，而德·摩根认为，运算符号的解释也是任意的；布尔把形式主义带向了终结。数学不再局限于数和连续量的问题。在这里，破天荒第一次清楚地表达了这样一种观点：数学的本质特征更多地在于它的形式，而不是它的内容。任何一个主题，如果以这样一种方式来呈现，使得它由符号以及这些符号之上的精确运算法则所构成，只服从于内在一致性的需要，则这个主题就是数学的组成部分。尽管《逻辑的数学分析》并没有获得广泛的认可，但或许正是由于这部作品的分量，两年之后，布尔被任命为科克郡新近创立的女王学院的数学教授。
20世纪一位伟大的数学家和哲学家伯特兰·罗素声称：19世纪最伟大的发现是纯数学的性质。在这一断言的基础上他又补充了一句话：“纯数学是由布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”罗素在这里提到的是布尔最著名的作品，出版于1854年。要想更准确，最好是援引他更早的作品：1847年的那本书，其中提出了很多一样的观点。
布尔1854年的《思维规律研究》是数学史上的一部经典著作，因为它扩大并厘清了1847年提出的那些观念，创立了形式逻辑和一种新的代数学，被称作布尔代数、集合代数或逻辑代数。布尔表示，他的代数为三段论推理提供了一套简易的运算法则。
今天，布尔代数被广泛使用，不仅被纯数学家所使用，而且还被其他人应用于保险和信息论中的问题。
在1859年出版的《论微分方程》中，布尔指出，微分算子（及其逆算子）和代数法则的属性之间有着类似之处。就这样，英国数学家在19世纪下半叶再次成为算法分析的领军人物，而50年前，他们在这一领域严重不足。
布尔死于1864年，也就是他的《思维规律研究》出版仅仅10年之后，但人们的认可在他去世之前就已经到来。奇怪的是，康托尔（他像布尔一样，也是19世纪主要的拓荒者之一）是少数拒绝认可布尔的工作的人之一。布尔的工作促进了一连串的公理研究，这些研究导致了1900年之后的逻辑代数的一整套假设。
哈密顿
哈密顿是个格外早熟的少年，他5岁的时候就能阅读希腊文、希伯来文和拉丁文；10岁的时候就已经通晓了6门东方语言。22岁那年，他向爱尔兰皇家学院提交了一篇光束理论的论文，文中表述了一个他特别喜欢的主题———空间和时间“密不可分的相互关联”。在某种意义上，这个观点可以看作是预示了相对论，但哈密顿从中得出了一个不那么富有成果的结论：由于几何学只是空间的科学，代数学必定是纯时间的科学。在代数学领域，哈密顿多半是遵循牛顿的引导，后者在定义流数法中的抽象概念上遇到困难时，觉得求助于物理宇宙的时间概念更让人踏实些。他可能只不过是得出了这样一个结论：既然几何学是空间的科学，而空间和时间是两个感官直觉的概念，代数学就应该是时间的科学。
1833年，哈密顿向爱尔兰皇家学会提交了一篇重要的长篇论文，文中，他提出了实数对的形式代数的组合法则，这些法则恰好就是今天针对复数系给出的那些。重要的数对乘法法则当然是：
他把这个乘积解释为一种涉及旋转的操作。在这里，你看到了把复数视为一个有序实数对的决定性观点，这一观念曾经在维塞尔、阿尔冈和高斯的图示法中暗示过，但如今第一次明确地表达出来。
哈密顿认识到，他的有序数对可以被想象为平面上的有向实体，他自然而然地试图从二元复数a+bi走向有序三元组a+bi+cj，从而把这个观念扩大到三维。加法运算没有什么困难，但此后10年的时间里，他一直受阻于n元组（n大于2）的乘法。1843年的一天，他突然灵感闪现：如果使用四元组而不是三元组，如果他抛弃乘法的交换律，他的困难就会迎刃而解。有一点或多或少已经清楚了：对于四元数a+bi+cj+dk，你应该取i^2=j^2=k^2=-1。现在，哈密顿还认识到，他应该让ij=k，但ji=-k，类似地，jk=i=-kj，ki=j=-ik。在其他方面，运算法则就像在普通代数中一样。
哈密顿也是通过抛弃乘法的交换公设，从而创造出了同样具有内在一致性的新代数。他用一把小刀在布鲁厄姆桥的一块石头上刻下了基本公式：
哈密顿一直把四元数的发现视为他最大的成就。如今回想起来，有一点很清楚：更加重要的并不是这种特殊的代数，而是对数学所享有的一种巨大自由的发现：它完全可以去构建新的代数学，而无需满足所谓的“基本法则”强加的限制，而在此之前，这些基本法则得到了含糊的形式持久性原则的支撑，没有例外可以援引。哈密顿在他一生的最后20年里，把时间都花在了他所钟爱的代数学上，他认为代数学充满了宇宙意义，而某些英国数学家把代数学视为一种莱布尼茨的广义算术。他的《四元数讲义》出版于1853年。这部大部头著作的很多内容致力于四元数对几何学、微分几何和物理学的应用。对于现代代数学史的主要意义是下面这个事实：哈密顿提出了非交换代数体系的详细理论。
格拉斯曼与《线性扩张论》
n维向量空间的概念，在赫尔曼·格拉斯曼的《扩张论》中得到了详细的处理，这本书1844年以德文出版。格拉斯曼还通过研究负量的几何学解释以及二维和三维空间里有向线段的加法和乘法而得出了他的结果。他强调维的概念，着重于抽象的“空间”与“子空间”科学的发展，二维几何和三维几何都只是其特例。有趣的是，格拉斯曼像哈密顿一样，也是个语言学家，是专攻梵语文学的专家。
格拉斯曼把纯数学定义为形式的科学，强调这种观点与那种把数学仅仅视为量的科学的观点之间的差异。他的形式科学的基本概念是相等和组合的概念，他分别用=和∩来表示。他这样来定义∩的逆运算∪：a∪b是满足a∪b∩b=b∩a的形式。扩张论是“几何学的抽象基础”，摆脱了空间的概念化和局限于三维的约束。一个单个的元素产生一个一维空间；从一个给定的元素通过连续改变得到的一组元素给出了一个二维空间，对应于几何中的直线。
格拉斯曼着重强调《扩张论》中提出的乘法的不同种类。他区分了“内积”“外积”和“组合积”。在哈密顿所处理的那个特例中，这些被简化为后者标量积和矢量积。格拉斯曼所处理的其他类型的乘法包括“代数积”，也就是那些ab=ba的乘积，就像在普通代数中一样，还有“外积”，相当于矩阵积。
在汉克尔论述复数系统的著作于1867年出版之后，“扩张论”这个词开始广为传播。汉克尔是黎曼的学生，他试图拿出一本严谨的复数引论。他的作品反映了格拉斯曼的研究，参考了皮考克，第一次用德文介绍了哈密顿的四元数，并提出了“交替数”理论，相当于格拉斯曼的外积。在那些通过汉克尔的作品注意到格拉斯曼的工作的人当中，就有费利克斯·克莱因。1911年，克莱因写信给恩格尔说：
众所周知，格拉斯曼就他的《扩张论》而言，是个仿射几何学家，而不是射影几何学家。这一点在1871年晚秋对我来说变得很清楚了，并且（加上莫比乌斯和哈密顿的研究以及对我在巴黎得到的所有印象加以发展）导致我构思后来的埃尔朗根纲领。
《扩张论》支持了三维空间里更有限的向量代数的发展。向量代数又是一种乘法交换律并不适用的多重代数。事实上，汉克尔在1867年证明了：正如德·摩根所怀疑的那样，复数代数是在算术基本法则之下可能存在的最一般的代数。
凯莱与西尔维斯特
到19世纪中叶，德国数学家在分析学和几何学领域已经远远领先于其他国家的数学家，领头的是柏林大学和哥廷根大学，出版则集中在《克列尔杂志》。另一方面，代数学一度几乎被英国所垄断，以剑桥三一学院为最前线，《剑桥数学杂志》是主要的出版媒体。皮考克和德·摩根都来自三一学院，凯莱也是如此，他对代数学和几何学都做出了重要贡献，是剑桥数学荣誉学位考试的第二名。我们已经提到了凯莱在解析几何领域所做的工作，尤其是关于行列式的使用，但凯莱还是最早研究矩阵的人之一，这是英国人关注代数学中的形式和结构的又一个实例。这部作品是从1858年一篇论述变换理论的论文发展出来的。例如，如果我们作下面这个变换：
接下来再作另一个变换：
则结果（它更早出现在———比方说———高斯1801年出版的《算术研究》中）相当于下面这个复合变换：
一般而言，颠倒变换的顺序会得到不同的结果。用矩阵的语言表达就是：
但
由于两个矩阵当且仅当所有对应元素相等时才相等，则显然，我们再一次得到了一个非交换乘法的实例。
矩阵乘法的定义正如上面所表示的那样，而（相同维度的）两个矩阵的和被定义为通过把矩阵的对应元素加起来所获得的矩阵。也就是：
让每一个二阶方矩阵在乘法下依然保持不变；因此，它被称作乘法下的单位矩阵。唯一让另一个这样的矩阵在加法下保持不变的矩阵，当然是零矩阵。
它因此是加法下的单位矩阵。有了这些定义，我们可以把矩阵上的运算想象为构成了一种“代数”，这一步是凯莱和美国数学家本杰明·皮尔斯和他的儿子查尔斯·S.皮尔斯跨出去的。皮尔斯父子在美国扮演的角色，有点类似于哈密顿、格拉斯曼和凯莱在欧洲扮演的角色。对矩阵代数及其他非交换代数的研究，在任何地方都是日益抽象的代数观发展中的主要因素之一，尤其是在20世纪。
凯莱的兴趣是多方面的，而西尔维斯特对代数学的忠诚则是坚定不移的，把他的名字跟所谓的西尔维斯特析配法（从两个多项式方程中消去一个未知量）联系在一起倒是很般配。这个方法很简单，就是用两个方程中的一个或两个乘以要消去的那个未知量，如果必要的话就重复这个过程，直到方程的总数超过未知量的幂。尔后，你可以从这个n+1个方程的集合中消去所有的n次幂，把每个幂想象成一个不同的未知量。因此，要从一对方程x^2+ax+b=0和x^3+cx^2+dx+e=0中消去x，你可以把第一个方程乘以x，然后把所得到的结果方程和上述第二个方程分别乘以x。接下来，把每一个x的4次幂想象为一个单独未知量，则行列式
被称作西尔维斯特析配法的结果，让它等于零就给出了消元的结果。
比他在消元法上的工作更为重要的是西尔维斯特在发展“形式”（齐次多项式）理论上与凯莱之间的合作，通过这一合作，这两个人开始被人们称作“不变式兄弟”。在解析几何与物理学中最重要的实例是含有两个和三个变量的二次形式，因为，当让它们等于一个常量的时候，它们便代表了二次曲线和二次曲面。就特例而言，当你让齐次式Ax^2+2Bxy+Cy^2等于一个非零常量时，根据B^2-AC小于、等于或大于零，它分别代表了椭圆（实的或虚的）、抛物线或双曲线。此外，如果这个形式在坐标轴绕原点旋转下被转变成新的形式A'x^2+2B'xy+C'y^2，则（B'）^2-A'C'=B^2-AC，也就是说，表达式B^2-AC（称作该形式的特征值）在这样一种变换下是一个不变式。还有两个跟形式相关联的重要不变式是下面这两个特征方程的根k_1和k_2：
事实上，这两个根是标准形式k_1x^2+k_2y^2中x^2和y^2的系数，如果这个形式不是抛物型的话，可以通过旋转坐标轴简化为标准形式。
如果我们用M代表形式的系数矩阵，用I代表二阶单位矩阵，则特征方程可以写作:
式中竖线代表了矩阵的行列式。矩阵代数最重要的属性之一是：矩阵M满足它的特征方程，这个结论是在1858年给出的，并被称作哈密顿—凯莱定理。。
线性结合代数
正是线性结合代数的分类，标志了美国人对现代代数学贡献的开始。线性结合代数包括普通代数、向量分析和四元数作为特例，但并不受单位1、i、j、k的约束。本杰明·皮尔斯为162种代数编制了乘法表，与19世纪初普遍盛行的只有一种代数的观念相去甚远。查尔斯·皮尔斯在这个方向上接续了他父亲的工作，他证明了，所有这些代数当中，只有3种代数的除法是唯一定义的：普通代数、复数代数和四元数代数。
本杰明·皮尔斯正是在涉及到他在线性结合代数上的工作时，在1870年给出了那个著名的定义：“数学是得出必然结论的科学”。他的儿子全心全意地同意这个观点，这是由于布尔的影响，但他强调，数学和逻辑学并不是一回事。“数学是纯假设的：除了条件命题之外它不产生任何东西。相反，逻辑学就它的命题而言是无条件的。”这一区别在20世纪上半叶的整个数学界又进一步争论。
代数几何
1882年，有两篇重要作品发表，在我们这些事后诸葛亮看来，它们预示了20世纪的重要趋势。一篇是利奥波德·克罗内克论述代数量的算术理论的深度研究。这篇艰深难懂的论文对世纪之交的代数学家和数论学家有着明显的影响。另一篇作品是戴德金和韦伯联合撰写的论述代数函数理论的论文。戴德金和韦伯利用前者在处理代数数的过程中所发展出来的代数理论，把黎曼论述函数理论的作品跟它的几何基础剥离开了。这让他们能够以这样一种方式来定义黎曼曲面的组成部分，使得可以认为它对于代数函数域是不变的。纯代数方法为后黎曼时代的代数几何开辟了一条全新的康庄大道；事实上，它最后被证明是20世纪的研究者所遵循的最富有成果的大道之一。然而，差不多半个世纪过去之后，这一点才变得明显了。
代数整数和算术整数
伽罗华的工作之所以重要，不仅因为它使得群这个抽象概念成为函数理论的基本概念，而且还因为它通过戴德金、克罗内克和库默尔的贡献，导致了一种研究代数学的新途径，可以称之为算术方法，有点类似于分析学的算术化。但这并不意味着回到中世纪和文艺复兴时期的观点：代数是一种用来求未知数的运算法则。它意味着，小心谨慎地根据不同的数域对代数结构作假设处理。域的概念在阿贝尔和伽罗华的作品中已经有所暗示，但戴德金似乎是最早在1879年对数域给出明确定义的人———它是一个数集，关于加法和乘法（除了零的倒数之外）构成一个阿贝尔群，对于这个数集，乘法在加法上分配。
对结构的关注以及新代数的兴起，尤其是在19世纪下半叶，导致了数和算术中广泛的一般化。高斯通过研究形如a+bi的高斯整数，从而扩展了整数的观念。戴德金在“代数整数”理论中进行了进一步的一般化———所谓的代数整数，就是满足一个首项系数为1、其余系数为整数的多项式方程的数。这样的“整数”系当然不构成一个域，因为缺少乘法下的逆。不过它们还是有共同之处，因为它们都满足一个数域的其他条件；因此我们说它们构成了一个“整环”。然而，对整数这个词的这种一般化是付出了代价换来的———损失了因子分解的唯一性。因此，戴德金采用了一位同时代的数学家恩斯特·爱德华·库默尔（1810~1893）发展出来的观念，把“理想子环”的概念引入到了算术中。
戴德金对代数学的关注可以追溯到19世纪50年代，当时，他在哥廷根大学听狄利克雷的数论课，并集中研究了伽罗华理论。他在那一时期的笔记显示，他在那段时间发展出了对初等群论的抽象处理。狄利克雷去世之后，戴德金负责整理出版狄利克雷的数论讲义。他在这部作品的附录中，介绍了自己的很多成果。其中最有名的是他的理想论，其各种不同的版本可以在先后几版《狄利克雷—戴德金》中加以比较尤其影响了艾米·诺特以及她在20世纪20年代的代数学派。
戴德金在1897年和1900年还发表了两篇论文，论述他称之为“对偶群”的一种新结构。在第一篇论文中，现代读者很容易认出一组关于格的公理。第二篇论文致力于自由模格的研究，他在文中证明了，一个格构成了一个部分有序的集合。戴德金还利用了链条件。在19世纪最后25年里，发表了很多其他的对群的抽象处理，常常是不证自明的公理处理。其中有几篇论文得到了戴德金的鼓励，海因里希·韦伯的作品尤其是这样，是戴德金使他对代数学产生了兴趣。
算术公理
人们常常把数学比作一棵树，因为它是通过地面上一个不断拓宽的延伸和分支结构来生长发展的，与此同时，它的根部也在不断加深和拓宽，以寻找坚实的基础。这种双重生长尤其是19世纪分析学发展的典型特征，因为函数理论的迅速拓展伴随着从波尔查诺到魏尔斯特拉斯针对这一课题所进行的严格的算术化。在代数学领域，19世纪之所以引人注目，更多的是因为新的发展，而不是对基础的关注，皮考克试图提供一个坚实基础的努力，跟分析学中波尔查诺的精确化比起来，就显得软弱无力了。然而，在世纪末的那几年，有过几次为代数学提供更强壮根部的努力。复数系从实数的角度进行了定义，后者被解释为有理数的类别，而复数则成了有序的整数对。但归根到底，整数究竟是什么呢?人人都认为自己知道，比方说，3这个数是什么———直到人们试图定义或解释它———而整数相等的观念被认为是显而易见的。让算术的基本概念（因此也是代数的基本概念）停留在如此含混模糊的状态，无论如何不能令人满意。
德国逻辑学家和数学家F.L.G.弗雷格得出了他著名的基数定义。他的观点的基础来自布尔和康托尔的集合论。读者想必还记得，康托尔曾经把两个其元素能建立一一对应关系的无穷集看作是有相同的“势”。弗雷格认识到，这一元素对应的观念也是整数相等概念的基础。两个无穷集，如果其中一个集合中的元素能够跟另一个集合中的元素建立起一一对应的关系，就可说它们有相同的基数———换句话说，它们是相等的。则如果你从一个始集开始，比如正常人手上手指的集合，接下来，把其元素能跟始集的元素建立一一对应的所有集合组成一个更加广泛的集合，那么，所有这种集合所组成的这个集合就构成了一个基数，在本例中，这个基数是5。从更一般的意义上讲，弗雷格对一个给定类（不管是有限还是无限）的基数的定义，就是所有与给定类相似的类所组成的那个类（这里，“相似”的意思是：这两个类的元素能建立一一对应）。
弗雷格对基数的定义（后来为避免悖论而进行了修改）1884年出现在一本著名作品《算术的基础》中，从这个定义出发，他得出了我们在小学算术中所熟悉的整数的属性。在接下来的几年里，弗雷格在他的两卷本著作《算术的基本法则》中简化了他的观点。在这部著作中，作者着手从形式逻辑的概念得出算术的概念，因为他不同意查尔斯·皮尔斯的断言：数学与逻辑学明显不同。弗雷格曾在耶拿大学和哥廷根大学接受教育，在漫长的职业生涯中一直在耶拿大学教书。然而，他的计划并没有得到多少响应，直到20世纪初才由伯特兰·罗素独立承担起来，当时，它已经成为数学家们的主要目标之一。弗雷格因为自己的工作受到冷落而深感失望，但过错部分地在于这些成果赖以铸就的那个过于新颖的哲学形式。历史证明，新颖的观念如果用相对比较传统的形式来表述就更容易被人们接受。
在参与抽象代数的发展上，意大利不如法国、德国和英国那么积极，但在19世纪末的那些年里，有一些意大利数学家对数理逻辑产生了浓厚的兴趣。其中最有名的是朱塞佩·皮亚诺，他的名字之所以被人们所铭记，多半跟皮亚诺公理有关，代数学和分析学有那么多严谨的结构依赖于这些公理。他的目标类似于弗雷格的目标，但在更加雄心勃勃的同时，也更脚踏实地。在他的《数学公式汇编》中，他希望发展出一种形式化的语言，不仅包含数理逻辑，而且包含所有重要的数学分支。他的计划吸引了一个由合作者和弟子们组成的庞大圈子，这部分源自于他对形而上学语言的回避，源自于他对符号的恰当选择———例如∈（属于）、∪（逻辑和或并）、∩（逻辑积或交）和⊃（包含）———其中很多符号今天还在使用。他为他的算术基础选择了三个原始概念：零、数（即非负整数）和“后继”关系，满足下列5个假设：
零是数。
若a是数，则a的后继者也是数。
零不是任何数的后继者。
其后继者相等的两个数，本身也相等。
如果数集S包含零，而且还包含S中每个数的后继者，则每个数都在S中。
当然，最后一个条件就是归纳公理。皮亚诺公理最早是在1889年出版的《算术原理新方法》中阐述的。这里，假设法达到了精确性的新高度，没有歧义，没有隐藏的假定。皮亚诺还在符号逻辑的发展上做出了很大的努力，这是20世纪最受青睐的一项研究。
我们回过头来看，可能会赞美19世纪是一个取得空前成就的时期，不管在几何学、分析学还是在代数学领域。就范围的广度、想象力、严谨性、抽象性和概括性而言，此前没有哪个世纪能跟它媲美。然而，尽管已经取得了迅速的进步和决定性的形式化，但人们没怎么感觉到数学的发展注定要慢下来。
拉格朗日在18世纪末表达过的那种“世纪末”悲观主义在19世纪末明显缺席。就数学领域而言，维多利亚时代弥漫的只有乐观主义气氛。
