题目如图:
下面介绍两种方法:
方法一:(间接法)(S梯形EGCF=S▱EGCN+S△CFN)
解:作AO平分BC,因为P为△ABC 的重心,AO为中线,必过P点,且有AP:OP=2:1,根据题意可知:四边形ABCD、四边形EGCN、四边形AEFD、四边形EBCF均为平行四边形。
在△AOC中,因为EG∥AC,根据相似三角形判定定理1可得,△POG∾△AOC,且相似比为1:2,设OG=x,CG=EN=2x,OB=3x,BC=6x(x>0)。
同理可得,△AEN∾△ABC、△EBG∾△ABC。
所以,EN:BC=1:3,S△AEN=4;BG:BC=2:3,S△BEG=16,S▱EGCN=36-4-16=16。
又因为BE=CF,EG=CN,∠EGB=∠ACB=∠CNF,
所以△EBG≌△CFN,S△CFN=16,
所以S梯形EGCF=S▱EGCN+S△CFN=16+16=32㎝²。
方法二:(直接法)(S梯形EGCF=【上底+下底】·高/2)
作AO平分BC,因为P为△ABC 的重心,AO为中线,必过P点,且有AP:OP=2:1,根据题意可知:四边形ABCD、四边形EGCN、四边形AEFD、四边形EBCF均为平行四边形。
在△AOC中,因为EG∥AC,根据相似三角形判定定理1可得,△POG∾△AOC,且相似比为1:2,设OG=x,CG=EN=2x,OB=3x,BC=EF=6x(x>0)。
同理可得,△EBG∾△ABC,相似比为2:3,S△EBG=16,设△EBG的高为h(h>0),S△EBG=4xh/2=16。
所以S梯形EGCF=(CG+EF)·h/2=4xh=32㎝²。