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老师让每天都进步1%, 这真的足够合理吗?

当然不合理。

看图:

每天进步1%,三年之后将达到60000个百分点,再过一年你可以积累200万点,五年之后,你可以积累近1亿个点。

好了,以上的玩笑,只是为了回应「模型跟实际相符吗?」这个问题。

当然,你的老师并不可笑,仅仅只是想要用简单粗暴的道理,给你说明努力的重要性,并不是让你来钻牛角尖的。

当然,作为死磕的精神,今天这牛角尖还钻定了。

如何才能让模型和现实更加的相符呢?

有人直接用乘法,但现实是,刚开始学习时,由于知识储备少,并不简单的是乘法,的确类似于指数。但慢慢的增长变得缓慢,最后,我们逐渐接近一个天花板上限的时候,增长变得越来越缓慢。

好了,接下来,我们来引入参数:

假设:小明一开始每天学习的知识量为Q,且保证学习转化率为100%。从第二天开始,老师让小明每天多学习T=1%的知识,并且也要求小明学习转化率为100%。并且从此以后,要求小明每天都比前一天多学T=1%的知识,以此类推。

小明很努力,但由于脑力上限,小明每天学习知识的转化率开始逐渐衰减,这个衰减因子我们假设为t。t随着学习知识量的增加,且呈倍数增加,第n天的衰减因子为 t∗n 。

假设小明第 n 天的知识新增量为 an ,那么:

an=Qn−1(1−tn) , Qn=Qn−1(1+T)

小明学习n天之后,积累知识总量: Sn=∑k=1nak

如果小明原始积累量 Q=1 ,学习衰减因素t我们给一个预估值0.03%,我们可得小明一年后的知识新增量为:

正好一年之后,小明的单日积累达到了巅峰,再往后学习积累开始下降。

小明运气有一些不好,遇到了一个变态老师,让小明一直这样学习下去。

于是两年之后:

小明的知识总量达到23倍左右的时候,再也不增长了。

为什么不增长了?

因为小明的脑子已经废掉了!

从一年前单日学习新增达到巅峰之后,小明的大脑就已经超负荷工作,接下来的一年时间单日新增不停下降,小明或许出现了严重的精神疾病(例如重度抑郁症)。一年之后,人要么已经丧失了学习能力,要么已经崩溃掉了。

你觉得这样对小明太不公平了?

那好,我们来给小明减负。

这一次我们按照一个月来计算,小明每一个月被要求学习知识增量30%。

我们给小明减负1/3,同时小明的学习衰退因子给个预估值0.2%。

减负之后,两年的时间,小明的知识积累量为原来的2.4倍,明显合理了很多。

但小明不甘心啊,之前他两年时间可以学习23倍的知识量。

但我也得告诉小明,之前你可能已经学挂掉了,两年之后不会再获得任何的知识量。

生命不易,且行且珍惜。

减负之后,良性循环,随着不断地学习,你获得的知识量还会不停地积累:

小学毕业喻指学习六年

等到小明小学毕业的时候,知识积累量已经达到原来的37倍,大大高于之前学死的23倍。

那么,妈妈觉得小明太辛苦,私下给他再度减负(或者小明偷懒),降低了他一半的学习量呢:

那么小明整个小学的知识积累量只有7.5,只有之前的20%,大大小于原来50%的知识积累。

所以,对于孩子学习来说,必须得有一个度。

当这个程度合适的时候,孩子的知识积累,会在早期的时候有一个指数增长的阶段。但当知识积累足够大的时候,增长开始接近一次函数。到达后期的时候,知识积累会逐渐接近天花板。

所以,我告诉小明:

当你知识储备少的时候, 保持每天1%的学习增长是可以做到的。

但随着你的知识储备量的增加,学习增长再难保持指数增长,如果想要强迫保持指数增长只会用坏脑子。学习中期,知识量不多不少,比较均衡的时候,知识会保持一段时间匀速增长。

但当知识增长量逐渐接近天花板的时候,你积累知识的速度又再次开始下降。

如果你只是普通大众,天花板极有可能是学习到专业后期(例如拓扑物理、纯数领域),因为学习难度所造成的。当然,如果你百年难得的人才,也可能是你达到诸如陈景润、杨振宁那样的地步,受限于这个时代的知识天花板。

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