我们因此看出，理想素因子揭示了复数的本质，似乎使得它们明白易懂，并揭露了它们内部透明的结构。——库默尔
我的大多数读者会大失所望地得知，由于这个平凡的观察，连续的秘密就要被揭开了。——戴德金
库默尔
在过去2000年里，很少有大数学家对"纯数"的数论作过如此的努力。原因有很多。一是数论比数学的其他各大领域更难；二是数论对科学的直接应用是很少的；三是数学家们在分析、几何和应用数学中可以取得引人注目的成果。
现代算术，高斯之后始于德国人库默尔。库默尔的理论始于他试图证明费马大定理。
库默尔18岁时，母亲把他送进哈雷大学学神学。由于贫穷，库默尔不能住在大学里，而是每天在家和学校之间来回奔波。当时海因里希·费迪南德·舍克在哈雷担任数学教授。舍克对代数和数论很痴迷，他把这种痴迷传给了库默尔。库默尔上大学三年级时，解决了数学中的一道难题，在21岁时被授予博士学位。
库默尔是最罕见的科学天才之一，他的天才体现在抽象数学方面，应用数学方面以及实验物理方面。他最杰出的成就是在数论上，在这个领域中，他深刻的独创性促使他得出了一些最重要的发现，而在其他领域（分析、几何、应用物理），他也做出了突出的贡献。
算术基本定理是说，任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积
数论方面，库默尔通过代数数域重建了算术基本定理（他通过一类全新的数，即他所谓的“理想数”，完成了这一重建）。他也继续了高斯关于双二次互反律的工作，并寻找高于四次的互反律。
代数数域是库默尔在证明费马大定理和高斯割圆理论中产生的。
库默尔的“理想数”现在已被戴德金的“理想数”所代替。通过利用他的理想数，库默尔证明了方程
对于很广泛的一类素数p，没有非零整数解。他未能证明费马定理。然而库默尔把证明费马大定理向前推进了一大步，远远超出了他所有的前辈曾经做过的工作。
费马大定理是说，当整数p>2时，上述方程没有正整数解。这里的p不一定是素数。
库默尔关于费马大定理的最后一篇论文是《关于x^p+y^p=z^p，对于无穷多个素数p的不可能性之费马定理的证明》。
库默尔有点像高斯，他对纯数学和应用数学同样喜爱。库默尔发展了高斯关于超几何级数的工作，极大地发展了高斯的研究，这些发展在今天的微分方程理论中十分有用。
此外，哈密顿关于射线组（在光学中）的精彩工作，鼓舞库默尔得到了他自己的一个最好的发现，即以他的名字命名的四次曲面的发现，当欧几里得空间是四维（而不是我们平常想象的三维）时，这种曲面在欧几里得空间的几何中起了重要作用，就像以直线代替点作为构成空间的不可约元素时发生的那样。在19世纪的几何学中，这个曲面（以及它到高维空间的推广）占据了中心位置，它可以利用四重周期函数表示。雅可比和埃尔米特为这些函数作了最重要的贡献。
库默尔的四次曲面
自1934年以来，阿瑟·爱丁顿发现，库默尔的曲面与量子力学中的狄拉克波动方程有一种亲缘关系（两者有同样的有限群，库默尔的曲面是四维空间中的波面）。库默尔因对射线组的研究而回到物理学以完成这个循环，他对大气折射理论作出了重要贡献。
库默尔一生的最后9年是在完全退隐中度过的。当他退休时就永远放弃了数学，除了偶尔去他少年时代生活的地方旅行。他在一次短时间患流感以后，于1893年5月14日去世，终年83岁。
戴德金
库默尔在算术上的后继者是尤利乌斯·威廉·里夏德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）。戴德金是德国最伟大的数学家和最有创见的人之一。当戴德金在1916年去世时，他已经是远远超出一代人的数学大师了。正如埃德蒙·朗道说，
里夏德·戴德金不只是伟大的数学家，而且是数学史上过去和现在最伟大的数学家中的一个，是一个伟大时代的最后一位英雄，高斯的最后一个学生。从他的著作中，不仅我们，而且我们的老师，我们的老师的老师，都汲取了灵感。
戴德金出生于不伦瑞克，那也是高斯的诞生地。17岁时，他已经在物理学的所谓推理中发觉了许多可疑之处，便转向了逻辑争议较少的数学。1848年他进了卡罗莱纳学院（给年轻的高斯提供自学数学机会的同一所学院）。在这所学院中，戴德金掌握了解析几何、高等代数、微积分学和高等力学的原理。他19岁进入哥廷根大学，主要导师是莫里茨·亚伯拉罕·斯特恩、高斯和物理学家威廉·韦伯。从这三个人手里，戴德金得到了对微积分学、高等算术原理、最小二乘法、高等测地学和实验物理的全面而基本的训练。
1852年，戴德金由于一篇关于欧拉积分的短论文，从高斯手里获得了他的博士学位（这时他21岁）。高斯对这篇学位论文的意见是很有意思的∶
由戴德金先生完成的这篇论文是关于积分学的研究的，它决不是平凡的东西。作者不仅显示出他对有关领域具有丰富的知识，而且也预示着他将来的成就的独立性。作为一篇获得考试许可的考查文章，我认为这篇论文是完全令人满意的。
1854年戴德金被任命为哥廷根大学不领薪金的讲师，他担任这个职位达4年之久。1855年高斯去世，狄利克雷从柏林迁往哥廷根。戴德金在哥廷根的后3年期间，听了狄利克雷的最重要的讲座。他还成了那时初露头角的黎曼的朋友。1857年，戴德金开了一门关于伽罗瓦方程理论的课，这也许是伽罗瓦理论第一次正式出现在大学课程中。
戴德金是最早重视在代数和算术中加入群概念的根人。在这段早期工作中，戴德金已经展示出了他后期思想的两个主要特征，即抽象性和普遍性。他不是在有限群的置换表示的基础上讨论群的，而是利用公设来定义群，并试图从它们的本质的提炼中，得到它们的性质。
戴德金26岁时被任命为苏黎士理工学院的常任教授，执教5 年，1862年回到不伦瑞克工学院任教授，他在那里工作了半个世纪。戴德金在一个相对来说是低下的位置上干了50年，而一些还不配给他系鞋带的人却占据了重要的和有影响的大学席位。戴德金直到85岁去世（1916年），终身未婚。
戴德金分割
戴德金的数学活动几乎完全与最广义的数的范畴密切相关，这里只能论述他的两项最伟大的成就。首先我们叙述他对无理数理论，由此对对分析基础的重要贡献，即“戴德金分割”。
简单地回顾一下无理数的性质。如果a，b是普通整数，分数a/b就称作有理数；如果不存在整数m，n，使得一个确定的数N可以表示成m/n，那么N就是无理数。如果一个无理数用十进制记数法表示出来，那么它就是无限不循环小数。问题来了，如何用十进制计数法表示出无理数，使之与真正的无理数相等？戴德金对于数、有理数或无理数之间相等的定义，与欧多克斯的定义是一致的。
欧多克斯，约公元前400年生于奈得斯，是希腊天文学家和数学家。
如果两个有理数相等，那么毫无疑问，它们的平方根显然也相等。这样，2×3和6是相等的，那么
但是
这个假定的简单等式
在学校算术中被当做理所当然的，如果我们看一下这个等式隐含着什么，它的不显然性就很明显了∶分别计算出2、3和6的平方根（无限不循环小数），然后把前两个乘在一起，结果就会等于第三个平方根。由于这三个根无论计算到多少位小数，都不能精确地表示出来，因此很明显，通过刚刚描述的乘法去证明，永远也办不到。
整个人类在其存在的全部过程中连续不断地苦干，也永远不能以这种方式证明
使“逼近”和“相等”的这些概念精确，去代替我们一开始的粗糙的无理数概念，这就是戴德金在19世纪70年代初所做的研究。他的关于连续性和无理数的著作发表于1872年。
戴德金的无理数理论的核心是他的“分割”或“截断”的概念∶
一个戴德金分割将有理数分成两个集合A和B，使A的所有元素都小于B的所有元素，且A不包含最大元素（开集）。集合B在有理数中可能有最小的元素，也可能没有。如果B有一个最小的元素，则分割对应于该有理数。否则，这个分割定义了一个唯一的无理数。换句话说，A包含了小于分割的所有有理数，B包含了大于或等于分割的所有有理数。分割处等于两个集合中都不存在的无理数。每个实数都等于一个且只有一个有理数。
这样，每个分割确实定义了一个无理数。从无理数的真正性质去看，在建立一个无理数理论之前，有必要先彻底理解数学上的无穷。在戴德金的分割定义中明显地需要无穷类，而这样的类将导致严重的逻辑困难。
数学家对这些困难是否影响到数学的前后一贯的发展有不同的看法。没有一个前后一贯的数学无穷理论，就没有无理数理论；没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的任何形式的数学分析；最后，如果没有分析，那么像现在存在的大部分数学（包括几何和大部分应用数学），也就不复存在。
因此，数学家们所面临的最重要的任务，看来是构造一个令人满意的无穷理论。康托尔尝试了这件事，并取得了极大的成功。
代数数
戴德金对“数”的概念作出的另一个突出贡献是在代数数方面。对于所论基本问题的性质，我们必须提到代数数域和代数整数分解成素因子。这个问题的关键在于，在一些这样的域中分解成的素因子不像在普通算术中那样是唯一的。戴德金通过创立他称为“理想”的东西，恢复了他希望得到的“唯一性”。一个理想不是一个数，而是一个数的无穷类，所以戴德金又回到了“无穷”中以克服他的困难。
理想这个概念是不难领会的，虽然有悖于常识，但常识总是要受到冲击的。一个理想必须至少做两件事∶它必须实际上让普通的（有理）算术任其自然；它必须迫使代数整数遵守算术的基本定律（唯一地分解成素数）。
包含得较多的类整除包含得较少的类，这一点涉及下面的现象（以及它的推广）。考虑2整除4这一事实。代替这个明显的事实（如果进入代数数域，它什么也得不出），我们用所有2的整数倍数的类代替2。为方便起见，我们用（2）来表示这个类。同样，用（4）表示4的所有整数倍数的类。现在很明显，（2）是包含得更多的类；事实上（2）包含（4）中所有的数。（2）包含（4）这一事实用符号来表示，写成
很容易就能看出，如果m，n是任意普通整数，那么当且仅当m整除n时，有
这提醒我们，普通算术可除性的概念可以由（刚刚叙述的）类包含的概念来代替，但是如果这样代替不能保持算术可除性特有的性质，那么它就是无益的。可以详细说明它确实保持了这些性质，这里仅举一个例子。如果m整除n，n整除l，那么m整除l。例如，12整除24，24整除72，12确实整除72。像上面那样转换到类，这就成为∶如果类（m）包含类（n），且如果类（n）包含类（l），那么类（m）包含类（l）。结果是，当我们加上“乘法”的定义∶（m）×（n）定义为类（mn），如（2）×（6）=（12）时，数用它们相应的类来代替，就做到了所需要的事。注意，上述乘法是定义，并不意味着可以从（m）和（n）的意义中得出。
戴德金对于代数数的理想是上述内容的推广。戴德金给出了一个抽象的定义，一个基于本质属性的定义，而不是基于表示或描述被定义事物的特定模式而下的定义。
考虑一个给定代数数域中的所有代数整数的集合（或类）。在这个包含一切的集中有一些子集。一个子集若有下面两个性质则被称为一个理想。
子集中任意两个整数的和与差仍在该子集中。
如果子集中的任何整数由在全包含集中的任何整数去乘，所得的整数仍在该子集中。
这样，一个理想是整数的一个无穷类。可以很容易看出，根据理想的定义，前面所定义的（m），（n），…，都是理想。如果一个理想包含另一个理想，就说第一个理想整除第二个。
可以证明每一个理想都是形为
的所有整数的一个类，其中a_1，…，a_n。是所论的n次域中的固定整数x_1，，x_2，…，x_n中的每一个可以是该域中不管什么样的任意整数。这样，通过只写出固定整数a_1，a_2，…，a_n，就可以方便地用符号来表示一个理想，即以（a_1，a_2，…，a_n）作为理想的符号。符号中元素的顺序是不重要的。
现在必须给理想的“乘法”下定义∶两个理想（a_1，…，a_n），（b_1，…，b_n）的乘积是符号为（a_1b_1，…，a_2b_2，…a_nb_n）的理想，在这个符号中出现由第一个符号中的一个整数与第二个符号中的一个整数相乘得到的所有可能的积a_1b_1，等等。例如，
（对于一个n次域）把任何这样的乘积符号化简成最多含n个整数的符号总是可能的。
可以看到，戴德金所做的工作需要有深刻的洞察力和有天赋的头脑，他在抽象能力方面要远远超出普通良好的数学头脑。戴德金总是依靠自己的头脑，而不是依靠巧妙的符号表示和对公式的熟练运用来使自己前进的。如果有过一个人把概念放入数学的话，戴德金就是一个，他喜爱创造性思想胜于喜爱枯燥无味的符号。这种智慧现在是明显的。数学存在得越长久，就变得越抽象——也许正因为如此，也就变得越实际。
