考试中，数量关系一直是比较难的一类题目，尤其是其中的行程问题，更是让广大考生头疼，他的特点是考察的小题型特别多，需要分类总结规律。今天我们分享的是环形相遇与追及问题，只要找准突破口，可以很方便的算出。如果你对前一篇基础内容“相遇及追及”还想再巩一遍，欢迎翻看。
【一、题型要领】
1. 环形相遇
【基本概念】
甲、乙两人从环形跑道的不同起点出发，相向而行(下图左侧部分)，一段时间后两人相遇，此次相遇虽在环形发生，实际为直线相遇过程。
相遇后两人位于环形同一起点，反向而行，为环形相遇过程（下图右侧部分）。
【基本公式】
两人第1次相遇时，行进的路程和为1圈跑道的长度。
两人继续行走，相遇第n次时，行进的路程和为n圈跑道的长度。
2. 环形追及
【基本概念】
甲、乙从环形不同起点出发，同向而行，一段时间后快者第一次追上慢者（下图左侧部分），此次追及虽在环形跑道发生，实际为直线追及过程。
追上后两人位于环形同一起点，同向而行，为环形追及过程（下图右侧部分）
【基本公式】
甲第1次追上乙时，两者的路程差为1圈跑道的长度（即甲比乙多走1圈）。
两人继续行走，甲第n次追上乙时，两者的路程差为n圈跑道的长度（即甲比乙多走n圈）
【解题关键】
根据两人的起始位值（同地，异地），行走方向（反向，同向），可以总结出环形相遇追及的4条规律：
（1）同地，反向：n次相遇，路程和为n圈
（2）异地，反向：n次相遇，路程和为AB距离+（n-1）圈
（3）同地，同向：n次追及，路程差为n圈
（4）异地，同向：n次追及，路程差为AB距离+（n-1）圈
【二、重点例题】
例题1
【题目】甲、乙两人在周长为400米的圆形池塘边散步。甲每分钟走9米，乙每分钟走16米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第二次相遇?
【分析】甲、乙两人的起始位置同地，行走方向是反向，直接套用整理的公式即可
【解】400 * 2 ÷（9 + 16）= 32（分钟）
【答】出发后32分钟他们第二次相遇
例题2
【题目】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米，求这个圆的周长。
【分析】小张和小王的起始位置为异地（圆的直径的两端），行走反向为反向。第一次相遇共走了半个圆的周长，第二次相遇又走了一个圈的周长，合计走了一个半圆的周长。因此第二次相遇所走的路程为第一次相遇所有路程的3倍。从小张的行走轨迹看，从A到D的距离（第二次相遇所行走的距离），就是A到C的距离（第一次相遇所行走的距离）的3倍
【解】（0.5 + 1）÷ 0.5 = 3（倍）
AD的距离为AC的3倍 = 80 * 3 = 240（米）
AB的距离为AD - BD = 240 - 60 = 180（米）
圆的周长 = AB的距离 * 2 = 180 * 2 = 360（米）
【答】这个圆的周长是360米
例题3
【题目】有一条400米长的环形跑道，甲、乙两人骑车从A点出发，背向而行。甲的初始速度为1米/秒，乙的初始速度为11米/秒。每当两人相遇，甲的速度就增加1米/秒，乙的速度减少1米/秒。当两人以相等的速度相遇时，距离A点多远？
【分析】虽然每经过1圈，甲乙的速度都发生变化，但他们的速度总和是保持不变的，因此两人每次相遇花费的时间都是一样的。当两人速度相等时，即为（1+11）÷ 2 = 6（米/秒），因此是第6次相遇，此时甲的速度为6米/秒。甲第一次相遇的速度是1米/秒，以后每次相遇的速度增加1米/秒，进而可以计算出第6次相遇时，甲所行走的总路程。
【解】400 ÷ （1 + 11）*（1+2+3+4+5+6）= 700（米），700 ÷ 400 = 1 … 300，相当于是1圈多出300米，由于1圈是400米，因此距离A点为100米
【答】距离A点100米
【三、拓展练习】
练习1
【题目】小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步，小王的速度是180米/分
（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑了多少圈后才能第一次追上小王？
【答案】（1）小张的速度是220米/分，（2）小张跑了5.5圈后才能第一次追上小王
（1）500 ÷（75 ÷ 60）- 180 = 220（米/分）
（2）500 ÷ （220 - 180）* 220 ÷ 500 = 5.5（圈）
练习2
【题目】甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反。40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇。问再过多少秒，甲将第一次追上乙？
【答案】再过100秒，甲将第一次追上乙
（1）甲丙40秒第一次相遇，此时共走1圈；乙丙40 + 60 = 100（秒）第二次相遇，此时共走2圈，也就是乙丙50秒可以走1圈。
（2）乙丙第一次相遇时，甲丙又各走50 - 40 = 10（秒），即第50秒时，甲比乙多走了10（甲+丙），由于40（甲+丙）恰好等于1圈的距离，相当于甲的速度比乙快了1/4
（3）甲追上乙需比乙多跑一圈，共需要 1 ÷ 1/4 * 50 = 200（秒），由于乙丙第二次相遇是100秒，因此还需要 200 -100 = 100（秒）
练习3
【题目】一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上。它们同时出发按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3里面/秒。问：这3只爬虫出发后多长时间第一次到达同一位置？
【答案】这3只爬虫在第60秒到达同一位置
（1）题中速度关系，A>B>C，由于要求ABC到达同一位置的时间，我们分别看A追上B，B追上C花费的时间，再进行汇总
（2）先看A追B，A和B相差30厘米，A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，因此A和B到达同一位置需要 90 ÷ （10 - 5）* M + 30 ÷ （10 - 5）= 18 * M + 6 （秒），M为A首次追上B之后又追上B的次数
（3）再看B追C，B和C相差30厘米，B的速度是5厘米/秒，B的速度是3厘米/秒，因此A和B到达同一位置需要 90 ÷ （5 - 3）* N + 30 ÷ （5 - 3）= 45 * N + 15 （秒），N为B首次追上C之后又追上C的次数
（4）列举（2）可能的答案 6，24，42，60，78，96。。。，列举（3）可能的答案15，60，75，120。。。，发现在第60秒的时候，A追上B且B追上C，因此ABC此时在同一位置，即为所求
