聚焦中考难点, 二次函数与几何综合题的最值问题

二次函数的最值问题﹐主要涉及线段长度、图形周长及图形面积等最值问题.线段长度最值及图形周长最值问题主要是要寻找何时线段最短,通常是找出线段一个端点关于直线的对称点,将对称点与线段的另一个端点连接,然后利用“两点之间,线段最短”来求值;图形面积最值问题通常要先根据题意列出图形面积的函数表达式,再利用函数知识求出最值;然后根据最值求出相应点的坐标.下面是笔者总结出来的有关求解二次函数与几何综合题中最值问题的两种方法．

1二次函数中线段最短及周长最小问题

二次函数的综合题中经常出现线段和的最小值、图形周长的最小值、以及线段差的最大值问题，解决这类题型所用的基本事实就是“两点之间,线段最短”.该类题型通常是已知一条直线和直线同旁的两个点,要在直线上寻找一点,使得直线同旁的两个点与该直线上的点之间连线段之和最小或者之差最大.解决该类问题的方法往往是通过作其中一个点关于直线的对称点来解决.

解决此类问题的关键是通过轴对称在二次函数对称轴上找一个点,利用“两点之间,线段最短”确定何时取得最值,然后联立直线与对称轴所在直线的方程,求出交点坐标即可.

此类二次函数的最值问题，一般都有共同的特征,即有两条边是变化的,其余边长是固定值;因此，要通过作对称点在直线上寻找一个交点,从而把变化的两条边转换在一条线段上,利用“两点之间,线段最短”确定周长最小的动点位置.

2二次函数中图形面积的最值问题

解决二次函数中图形面积的最值问题,关键是求几何图形的面积,通常是将几何图形的面积转化为三角形面积的和或差,而三角形面积的求法常有以下几种方法.

解决此类二次函数与几何图形面积的最值问题，关键是将几何图形的面积转化为三角形面积的和或差,求出其表达式,然后利用三角形的边在坐标轴上及边不在坐标轴上的方法进行求解.当边在坐标轴上时,以坐标轴上的边为底,此时三角形的高就是另一个顶点坐标的横坐标或纵坐标的绝对值;当三角形的边不在坐标轴上时﹐过一个顶点作平行于α轴或y轴的直线,此时的三角形被分成两个同底的三角形,高为另外两个顶点的横(纵)坐标的绝对值之和或者绝对值之差,然后只需根据坐标特征表示出底﹐就可以列出几何图形面积的函数表达式,进而利用函数求出最大值即可.

3总结

求线段和、差、图形周长的最值问题,通常通过作对称点来解决;求图形面积的最值问题,将几何图形的面积转化为三角形面积的和或差后,针对三角形是否有边在坐标轴上进行相应处理.z