如图1，抛物线y=ax2+bx+c(其中a≠0)的图像过点C(0，1)，顶点为Q(2，3)，点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
1)求抛物线的函数表达式.
2)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO.
3)在第2)小题的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在点P和点F移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
分析1)设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3，将C(0，1)代入，得
1=a(-2)2+3，
解得
从而
即
2)由题意可知，∠ECD=45°，因为OC=OD，且OC⊥OD，所以△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，从而∠ECD=∠ODC，于是CE∥x轴，则点C，E关于对称轴(直线x=2)对称．易知点E(4，1)，设对称轴(直线x=2)与CE交于点M，则M(2，1)，从而ME=CM=QM=2，于是△QME与△QMC均为等腰直角三角形，因此
∠QEC=∠QCE=45°.又因为△CDO为等腰直角三角形，所以∠ODC=∠OCD=45°,
进而∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°.
故△CEQ∽△CDO．
图2
3)△PCF的周长存在最小值.如图2，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，联结C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形.由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．联结C′E，因为点C,C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，所以△QC′E为等腰直角三角形，故△CEC′为等腰直角三角形,易知点C′(4，5).因为点C,C″关于x轴对称，所以点C″(0，-1)．过点C
NC′=4，NC″=4+1+1=6.
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得
因此，在点P和点F移动过程中，△PCF的周长存在最小值
本题用的是熟悉的数学知识和方法，对三角形周长最小值的处理体现了数感的功能即转化思想，对图形用运动变换的观点来分析，体现渗透几何直观素养．试题对探究能力的考查就是对学生获取信息、加工信息能力的考查，注重对科学探究能力的考查正式是素养导向下的命题特点．
