问题由来:
已知半圆的直径为AB,其长度为128,AC=92,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。
主要内容:
本文采用两种方法,一是利用角平分线、正弦定理与长度关系,二是利用角平分线、正弦定理与长度关系,介绍已知半圆的直径为AB,其长度为128,AC=92,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。
※.角度余弦值关系计算求解
[主要思路]:利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。
如上图所示,设圆的半径为R,即R=AB/2=64,
在△AOD中,AO=OD=R=64,
由余弦定理有:
AD=2AM=2*Rcos2a=2*64cos2a=128cos2a…….(1)
在三角形AOC中,由余弦定理有:
AC=2*AN=2*Rcosa=128*cosa,
即:128cosa=92,
所以:cosa=23/32.
代入方程(1)中,有:
AD=128cos2a=128*(2cos ²a-1),
=128*[2*(23/32) ²-1],
=17/4.
※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解
[主要思路]:本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理,并根据角a的余弦值,以及长度关系,来求解计算所求线段的长度。
如上图所示,设AD=x,OD与AC的交点为P,设DP=y,则OP=R-y,
即OP=64-y,在三角形△AOD中,AP是角平分线,由平分线定理可得:
OP/PD=AO/AD,
则:(64-y)/y=R/x,化简为:
x=64y/(64-y),……(1).
进一步由正弦定理可得:
DP/sina=AD/sin∠APD,
即:y/sina=x/sin3a,化简为:y(3-4sin²a)=x,……(2),
在△AOC中,可求出cosa=23/32,
则:sin²a=495/1024……(3),
将(3)代入(2)可知:
y=256x/273,
再代入(1)可知:
x=64*(256x/273)/[64-(256x/273)],
化简可得;
256x/273=64 *17/273,
所以:x=17/4.