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已知半圆直径为128, AC是角平分线求线段AD长的两种方法

问题由来:

已知半圆的直径为AB,其长度为128,AC=92,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。

主要内容:

本文采用两种方法,一是利用角平分线、正弦定理与长度关系,二是利用角平分线、正弦定理与长度关系,介绍已知半圆的直径为AB,其长度为128,AC=92,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。

※.角度余弦值关系计算求解

[主要思路]:利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。

如上图所示,设圆的半径为R,即R=AB/2=64,

在△AOD中,AO=OD=R=64,

由余弦定理有:

AD=2AM=2*Rcos2a=2*64cos2a=128cos2a…….(1)

在三角形AOC中,由余弦定理有:

AC=2*AN=2*Rcosa=128*cosa,

即:128cosa=92,

所以:cosa=23/32.

代入方程(1)中,有:

AD=128cos2a=128*(2cos ²a-1),

=128*[2*(23/32) ²-1],

=17/4.

※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解

[主要思路]:本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理,并根据角a的余弦值,以及长度关系,来求解计算所求线段的长度。

如上图所示,设AD=x,OD与AC的交点为P,设DP=y,则OP=R-y,

即OP=64-y,在三角形△AOD中,AP是角平分线,由平分线定理可得:

OP/PD=AO/AD,

则:(64-y)/y=R/x,化简为:

x=64y/(64-y),……(1).

进一步由正弦定理可得:

DP/sina=AD/sin∠APD,

即:y/sina=x/sin3a,化简为:y(3-4sin²a)=x,……(2),

在△AOC中,可求出cosa=23/32,

则:sin²a=495/1024……(3),

将(3)代入(2)可知:

y=256x/273,

再代入(1)可知:

x=64*(256x/273)/[64-(256x/273)],

化简可得;

256x/273=64 *17/273,

所以:x=17/4.

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