1983年高考数学卷具有特殊意义，因为在这一年的高考数学卷中第一次出现了选择题，而在此之前的20余年的高考中，数学卷大多数情况下都是全部解答题，偶尔会有填空题，比如1952年高考数学卷中就有20道填空题。
本文和大家分享一道1983年高考数学真题。
本题出自当年高考理工农医类数学卷的第8题，也是倒数第二题。题目考查的是等比数列的相关性质及极限的计算，题目本身难度并不算大，但是形式看起来比较复杂，多少有点唬人，因此学渣选择了直接放弃，而学霸却说这是一道基础题。接下来一起解一下这道题。
先来看第一问。证明一个数列为等比数列的方法有4个：定义法、通项公式法、前n项和法、等比中项法，其中用得最广泛的还是定义法。
我们先来看一下等比数列的定义：从一个数列的第二项开始，后一项与前一项的比值为常数，那么该数列为等比数列。
所以我们需要先表示出an，再计算当n≥2时，a(n+1):an为常数。
因为S1、S2、···、Sn是公比为p的等比数列，所以Sn=S1·p^(n-1)=bp^(n-1)。
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=bp^(n-2)(p-1)。此时可以计算出a(n+1):an=p，结论得证。
再来看第二问。要求这个式子的极限，需要先求出数列{anSn}的通项公式，再求新数列的前n项和。
由(1)知，数列{an}从第二项开始为等比数列，而{Sn}也为等比数列，所以数列{anSn}从第二项开始也是等比数列，那么接下来用等比数列的定义求出新数列的公比为p^2。
然后先计算出新数列从第二项开始的和，即a2S2+a3S3+···+anSn的表达式。而原极限可以拆分成两个部分进行求解，第一部分就是a1S1=b^2，第二部分就是刚才得到的表达式，即-b^2[1-p^(2n-2)]p/(1+p)。根据题意，|p|＜1，则p^2＜1，即当n趋于无穷大时，p^(2n-2)=0，所以第二部分的极限就是-b^2p/(1+p)。最后再通分算出最终答案即可。
上面采用的策略是先表示出表达式的形式再求极限，实际上也可以先拆分并求出第二部分的极限再代入，而且这种策略计算起来还更简单，更不容易出错。
本题的难点在于题目中没有具体数值，都是以字母代表数值，让题目看起来更加复杂，这也是不少学生选择放弃的主要原因。但是仔细分析后会发现，本题考查的就是等比数列的基本性质，真实难度并不大，只要按照等比数列的性质求解即可，所以学霸会认为是基础题。
