大家好！本文和大家分享一下这道2018年高考全国2卷理科数学的选择压轴题。这道题考查的是向量的数量积，很多同学看到是选择压轴题就直接放弃，随便蒙了一个答案，但是学霸却说这就是一道送分题。下面我们一起来看一下这道题。
在高中阶段，求向量数量积常用的方法有4种：定义法、基底法、坐标法和极化恒等式。下面就和大家分享一下本题的两种比较简单的解法：坐标法和极化恒等式。
解法一：坐标法
用坐标法求向量的数量积，首先就需要求出向量的坐标。要求坐标，就需要有坐标系，所以我们先建系。由于△ABC是等边三角形，故以三角形的一边及该边的中线为坐标轴建立直角坐标系如下图。这样建系的好处是利用等边三角形的对称性，比较容易求出各顶点的坐标。
建系后，易得A(0,√3)，B(-2,0)，C(1,0)。设P(x,y)，那么就可以求出向量PA、向量PB和向量PC的坐标，代入后所求的数量积就变成了求2x^2-2√3y+2y^2①。
接下来就是求①的最小值。要求①的最小值，可以采用配方法，配方后为2[x^2+(y-√3/2)^2-3/4]。显然，当x^2=0且(y-√3/2)^2=0即x=0且y=√3/2时，上式的值最小，且最小值为-3/2。故选B。
解法二：极化恒等式
什么是极化恒等式？如下图，在△ABC中，AD是BC边的中线，那么向量AB与向量AC的数量积就等于AD的平方减CD的平方。极化恒等式通常用来计算共起点的两向量的数量积，即共起点的两向量的数量积等于对应向量三角形第三边中线的平方与第三边一半的平方之差。
极化恒等式通常用来求向量数量积的取值范围，这类题型的关键就是要找到第三边的长度，而且第三边的长度往往是一个定值，这样就转化成求第三边中线的取值范围了。
回到题目。设D为BC的中点，那么PB向量与PC向量的和就等于2倍PD向量，所以接下来就只需要求出PA向量与PD向量数量积的最小值即可。
连接AD，取AD的中点M，那么根据极化恒等式可知，PA向量与PD向量的数量积就等于PM^2-AM^2。由于△ABC是边长为2的等边三角形，所以AD=√3，则AM=√3/2。接下来就只需要求出PM^2的最小值即可，显然，PM^2的最小值为0，从而得到答案。
极化恒等式是求向量数量积的重要方法，高中生应该掌握。就像本题，如果极化恒等式掌握得很熟练，10秒钟就可以解出答案。
