在这篇文章中,我想讨论一个来自瑞典数学奥林匹克竞赛的一个问题。该问题如下。
找到所有整数n,使得:
我们一般用ℕ表示自然数的集合,用ℤ表示整数的集合。因此,我们可以把这个问题改写成:
找出所有n∈ℤ,满足下式:
我强烈建议你们自己尝试解决这个问题。我概述了我在解决这种形式的问题时总是问自己的三个问题。这些问题的目的是试图缩小可能的解的范围。
问题1:是否有任何n值我们可以立即排除,因为会导致某些数学错误?
每当面对任何需要寻找一组解的问题时,这总是我问自己的第一个问题。这将有助于我们排除不可能的解,因为它们会导致某种数学错误。这些错误包括:除以零,取负数的平方根,以及取负数的对数等。由于我们的变量:
并不太复杂,唯一对我们有用的是我们不能除以零!所以我们需要确保避免 "除以零"。唯一导致除以0的n值是n=7。所以,我们确定n≠7。诚然,这并没有使我们这次的搜索范围缩小很多,但这总是一个很好的第一步。
问题2:是否有任何n的值是我们可以立即排除,因为它们不在我们解集中?
我们想找到n∈ℤ的值,以使:
因此,如果有任何n∈ℤ的值能明显导致
不在自然数集中,我们就可以立即将其排除。
考虑到这一点,请注意:
所以,如果n<7,那么:
因为指数是负数。因此,从问题1和问题2中我们知道,如果n≤7,则不满足条件,所以我们将把搜索范围限制在n≥8。
问题3:是否有任何你还没有使用的信息可以帮助你进一步缩小搜索范围?
在这个问题的这个阶段,我建议利用你尚未使用的任何信息来进一步缩小可能的解的集合。但在这个问题上,我们已经使用了所有的信息,但仍然没有解决问题,我们该怎么办呢?有两个选择。要么你有处理类似问题的经验,知道一些技巧,要么你只能使用数学家的万能方法了。没错,这就是数学的秘密,所有数学家在陷入困境、前路被黑暗笼罩时使用的方法。
让我们制作一个表格,看看我们是否能发现一些规律。你可能发现不了,或者,如果规律确实存在,你将不得不罗列出前1000项,甚至数千万项。在这种情况下,我们只能求助于计算机了。
现在,考虑到这是一套数学奥林匹克竞赛的问题,不需要罗列很多项就能发现这个规律,所以让我们试试。
我们注意到,当n=8和n=9时,都是符合要求的。
此外,n=10、11、12、13、14都不满足要求,因为:
你可能已经开始看到这里的规律了。随着我们对n的取值的变大,2的幂增长得太快了,永远不会有一个n∈ℤ的值,n≥10,使得:
特别是,我们注意到,对于n≥11。
因为它被在1和2之间。因此,唯一的解将是n=8和n=9。
现在你可能觉得这很清楚,但数学需要证明,所以我们需要证明我们的结论。我们已经证明了n=8和n=9是解,我们只需要证明它们是唯一的解即可。要做到这一点,我们要证明对于任何n≥10的情况,我们都无法得到一个解。我们首先注意到n=10不是一个解,我们在上面的计算中证明了这一点。接下来我们证明,对于n≥11的情况,我们无法得到一个解,原因正是我们上面给出的。特别是,我们证明,对于n≥11。
所以不可能是一个自然数。对于n≥11:
所以我们实际上只需要证明对于n≥11:
让我们试着让这个不等式变得更漂亮一点。整理得到:
有很多方法可以证明这一点,我将使用归纳法。证明过程如下:
第一步:证明第一条陈述是真的。对我们来说,第一条陈述是当n=11时:
第二步:证明命题k是真的前提是命题k-1是真。另一种说法是,假设k-1是真,证明k是真。
现在让我们来应用这个方法。回顾一下,我们想证明,对于n≥11:
第一步:我们证明对于n=11来说是真。实际上,我们已经在上面证明了这一点,但我们还是再做一次吧。将n=11带入,得到:
这当然是真。
第二步:我们假设(2^7)(n)<2^n这句话对n=k-1来说是真的,并以此证明它对n=k是真。我们假设:
并利用这一点证明:
因此,从
最后我们注意到,由于k-1≥12:
因此:
这就是我们想要证明的东西。因此,利用归纳法,我们已经证明了我们的结果是真的,反过来也证明了n∈ℤ的唯一值,即:
是n=8和n=9。