大家好！本文和大家分享一道德国数学奥赛题，解方程：x^2(1+x)^2+x^2=8(1+x)^2。本题看起来难度很大，也有不少同学直接选择了放弃，但是仔细思考后会发现这道题的难度其实并不大，按照常规方法也是可以解出来的，因此学霸都说这道题简单。接下来和大家分享本题的两种解法。
解法一：
这是一道高次方程，在没有思路时可以考虑先将各项展开计算，再进行因式分解。该方程展开后可以得到：
x^4+2x^3-6x^2-16x-8=0。
接下来进行因式分解。对于这样的高次多项式因式分解，常用的方法有拆项、添项、分组等。本题中项数比较多，可以考虑分组分解。比如将x^4和2x^3分为一组，那么就可以提出公因式x^3，即：x^4+2x^3=x^3(x+2)，此时出现了x+2的多项式，后面再继续分组时就要考虑能够凑出这一项。
这一步分解的结果为：x^4+2x^3-6x^2-16x-8=(x+2)(x^3-6x-4)。
接下来对x^3-6x-4进行分解。先观察式子特点，可以发现如果将6x拆分成4x+2x，即x^3-6x-4=x^3-4x-2x-4=x(x^2-4)-2(x+2)。再继续分解就可以完成因式分解，然后再求解即可。
解法一的难点就是因式分解。那么再介绍两种非常好用因式分解的方法：长除法、待定系数法。
长除法：先试根，常用的试根数字为±1和±2。经过尝试可以发现，-2是原方程的一个根，所以x+2就是原方程的一个因式，然后就用需要分解的多项式除以x+2，并从高次项依次相除即可。
待定系数法：比如要分解x^3-6x-4这个多项式，那么这个多项式可以分解为一个一次式与二次式的乘积。因此可设x^3-6x-4=(x+m)(x^2+bx+c)，右边展开后得到：x^3+(b+m)x^2+(c+mb)x+mc，所以可以得到一个关于m、b、c的方程组，解出后就将这个多项式分解出来了。
当然，用这个方法分解多项式时最好一个步骤降幂一次，这样虽然需要多分解几步，但是不容易出错。
解法二：
如果将x^2(1+x)^2稍微变换一下，变成[x(1+x)]^2，那么方程左边就是两个式子的平方和，所以可以考虑进行配方。即方程两边同时加上2x·x(1+x)，这样方程就可以变形为x^2(x+2)^2=2(x+1)(x+2)^2。
注意到了这一步后，不要两边直接除以(x+2)^2，这样就会导致漏解。到这一步后，要么移项提公因式，要么分类讨论。最后求解出x的值即可。
解法一更容易想到，但是因式分解是难点，解法二不容易想到，但是如果想到后解起来就简单了。
