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求函数y=x^4(lnx-1)的拐点及凸凹区间

主要内容:

本文通过微积分知识,以及函数和差、乘积求导法则和幂函数、对数函数的求导公式,介绍计算函数y=x^4(lnx-1)的拐点及凸凹区间的主要过程。

主要内容:

※.导数计算

因为y=x^4(lnx-1),对x求导,

所以dy/dx=4x^3(lnx-1)+x^4*1/x

=4x^3(lnx-1)+1x^3,

即:dy/dx=x^3[4(lnx-1)+1],

继续对x求导,则有:

d^2y/dx^2=3x^2[4(lnx-1)+1]+x^3*4/x

=3x^2[4(lnx-1)+1]+x^2*4

=x^2[12(lnx-1)+3+4]。

※.拐点及凸凹区间计算

因为d^2y/dx^2=x^2[12(lnx-1)+3+4],

即d^2y/dx^2=x^2(12lnx-5),

令d^2y/dx^2=0,则lnx=5/12,即x0=e^(5/12)。

(1)当x∈(0, e^(5/12))时,d^2y/dx^2<0,曲线y在(0, e^(5/12))上是凸函数;

(2)当x∈[e^(5/12),+∞)时,d^2y/dx^2≥0,曲线y在(0, e^(5/12))上是凹函数。

此时拐点的纵坐标y0为:y0=x^4*(5/12-1)=-(7/12)x^4。

所以拐点的坐标为(e^(5/12),-(7/12)x^4)。

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