主要内容:
本文通过微积分知识,以及函数和差、乘积求导法则和幂函数、对数函数的求导公式,介绍计算函数y=x^4(lnx-1)的拐点及凸凹区间的主要过程。
主要内容:
※.导数计算
因为y=x^4(lnx-1),对x求导,
所以dy/dx=4x^3(lnx-1)+x^4*1/x
=4x^3(lnx-1)+1x^3,
即:dy/dx=x^3[4(lnx-1)+1],
继续对x求导,则有:
d^2y/dx^2=3x^2[4(lnx-1)+1]+x^3*4/x
=3x^2[4(lnx-1)+1]+x^2*4
=x^2[12(lnx-1)+3+4]。
※.拐点及凸凹区间计算
因为d^2y/dx^2=x^2[12(lnx-1)+3+4],
即d^2y/dx^2=x^2(12lnx-5),
令d^2y/dx^2=0,则lnx=5/12,即x0=e^(5/12)。
(1)当x∈(0, e^(5/12))时,d^2y/dx^2<0,曲线y在(0, e^(5/12))上是凸函数;
(2)当x∈[e^(5/12),+∞)时,d^2y/dx^2≥0,曲线y在(0, e^(5/12))上是凹函数。
此时拐点的纵坐标y0为:y0=x^4*(5/12-1)=-(7/12)x^4。
所以拐点的坐标为(e^(5/12),-(7/12)x^4)。