数列是高中数学的一个重要知识点，也是高考的重要考点。其实，数列所涉及到的知识点并不多，主要有等差数列和等比数列的通项公式、前n项和及常用的性质、递推法求数列通项公式、数列求和等。数列的知识点虽然不多，但是在全国卷中的分值却不低，一般在10到12分，所以对高中生来说，数列是必须要掌握的知识点。
本文就和大家分享一道2011年高考数列真题。这道题是2011年高考理科数学试卷的第20题，也就是第4道解答题，考查的是递推法求数列通项公式以及裂项相消法求和。这是一道非常经典的数列题，可以很好地检验高中生对数列的掌握情况。下面我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：求{an}的通项公式。
在高考中求数列的通项公式主要有三种情况：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、递推法求通项公式。本题中，题干不能直接看出an是等差数列还是等比数列，但是题干告诉了两项之间的关系，所以本题考查的是递推法求数列通项公式。
为了方便理解，我们采用换元法来进行讲解。
令cn=1/(1-an)，则题干中的关系式就变成了c(n+1)-cn=1。由于a1=0，所以c1=1/(1-a1)=1，那么数列{cn}就是以1为首项、以1为公差的等差数列。根据等差数列的通项公式可得，cn=1+n-1=n，从而得到{an}的通项公式为an=(n-1)/n。
再看第二小问：证明Sn＜1。
由题意可知，Sn是数列{bn}的前n项和，所以我们需要先求出数列{bn}的通项公式，然后再求和。由bn与a(n+1)的关系及第一小问的结论可得，bn=[√(n+1)-√n]/√n√(n+1)。看到这个形式，就可以想到用裂项相消法来求和，即bn=1/√n-1/√(n+1)，所以Sn=b1+b2+b3+……+bn=(1-1/√2)+(1/√2-1/√3)+(1/√3-1/2)=……+(1/√n-1/√(n+1))=1-1/√(n+1)。由于n为正整数，所以0＜1/√(n+1)≤1/√2，所以有Sn＜1。
一般情况下，全国卷对数列的考查难度并不大，只要掌握了方法，数列题就相当于是送分题。所以，如果要想数学考出一个较好的分数，数列是必须掌握并且不能丢分的题目。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
