这几天有学生重刷近五年真题中的选填压轴题时发过来了这个题目，求y=2sinx+sin2x的最小值，本题是2018年全国1理科数学第十六题，常规思路是求导数换元求最值，难度不大，但这个学生秉承着小题不用大题的做法想出了两个思路，且这两个思路答案均不对，但思路本身的确有可圈可点的地方，如下：
思路1.柯西不等式求最值。
这种思路应该是看过我之前发过的选题解析系列中三角函数用柯西不等式求最值的方法，在说方法之前有个问题需要提醒一下，在均值不等式中为什么要要求“定值”？不用定值行不行？当然可以，用柯西不等式求最值可不可以不为定值？也可以，但为什么还要强调定值？
不等式其实是一种放缩思想，以均值不等式为例，若知道乘积为定值，则可求出和的最小值，此时其实是把所求式子放缩成一条与x轴平行的直线，这条直线没有最值或处处最值，若满足取等的条件，则直线所对应的y值就是相加之后的最值，若不满足定值，此时是把一个函数放缩成另外一个函数，若满足取等条件只能说明两函数存在交点，但以放缩之后的函数最值表示原函数的最值显然不一定正确，除非同时满足取等的条件和放缩之后函数取最值的条件是同一个x方可，该学生的思路如下：
此时原函数与放缩之后的函数图示如下：
通过这个题目强调一点，有很多学生或老师神话了放缩法，导致很多学生在遇见导数题后首选放缩法，在高考中若使用放缩法那么题目中一般会给出明确提示，或者在第一问中就已经给出了放缩所需的不等式，若没有则需要将使用的放缩公式证明出来，放缩在证明不等式成立中确实用很大的帮助，但在求参数范围中放缩法所需的技巧就不再是简单的套用放缩公式了。
思路2.转化为向量求最值
存在加减法的三角函数求最值很多时候都可以转化为向量的数量积来求解，在之前的推送中也给出了很多类似的解法，类似于下题
在本题中确实可看做两个向量的乘积，但数量积既与模长有关也与向量之间的夹角有关，若模长和夹角之间无关联尚可，若模长间接影响夹角，此时既要留意模长的大小又要留意夹角的大小，取最值时并不一定都满足模长和夹角都满足。
这种做法是将单变量看成两个无关联的双变量，但两个变量互相影响，很难同时取得对应的最值情况。
至于本题目的最优解法我还是推荐求导换元求最值，简洁且直接明了，如果非得展现与别人不同，可以试着用均值不等式的扩展形式或琴生不等式，但这些作为学生，能掌握吗？高中数学属于初等数学，最终还是要讲究基于基础，灵活应对的，本题目的常规方法导数法不再给出，将均值不等式方法和琴生不等式方法给出：
琴生不等式与函数的凸凹性有关，证明函数的凸凹性可通过二阶导数来判定，若f''(x)>0,则函数下凸，若f''(x)<0，则函数上凸
上述两种解法仅供参考，算是知识上的扩展内容。
