大家好！本文和大家分享一道1987年高考数学数列真题。题目是当年理工农医类数学卷的第七大题，也是必做题的倒数第二题，难度还是比较大的。将题目拿给现在的高三学生做，第二问还是难住了不少同学，甚至学霸也颇感烦恼。下面一起来看一下这道题。
先看第一问。
题目中告诉了Sn与an的关系，要求an与a(n-1)的关系，那么只需要先表示出S(n-1)，再用an=Sn-S(n-1)就可以消去Sn，得到an与a(n-1)之间的关系，最后化简即可。
这一问的难度不大，只要能够想到an=Sn-S(n-1)这个关系式就能轻松求解。
再看第二问。这一问的实质就是求an的通项公式。
根据第一问的结果，知道了an与a(n-1)两项之间的关系，那么可以考虑用递推法来求通项公式。
因为an与a(n-1)的系数不相同，所以可以考虑构造一个新的等比数列。怎么构造呢？
令an+λ/(1+b)^(n+1)=b/(1+b)[a(n-1)+λ/(1+b)^n]，注意左边与右边方括号内的形式保持一致。这样可以得到an的表达式，再用待定系数法与第一问得到的an的表达式比较，得到(b-1)λ=b。
下面就需要分b=1和b≠1两种情况讨论。
当b=1时，代入第一问得到的关系式可得：an=a(n-1)/2+1/2^(n+1)。然后两边同时除以(1/2)^n，就可以得到一个新的数列{an/(1/2)^n}，且该数列为等差数列。先求出新数列的通项公式，再求an。
当b≠1时，λ=b/(1-b)，代入上图假设的关系式，同样可以得到一个新的数列，并且新数列是一个等比数列。所以还是先用等比数列的性质求出新数列的通项公式，再进一步求出an的通项公式。
综合b=1和b≠1两种情况，就得到an完整的通项公式。
第二问除了用递推法求解，还可以用数学归纳法求解。即先计算出a1、a2、a3，由此猜测an的表达式，然后假设当n=k时成立，通过计算证明当n=k+1时也成立，从而对于任意正整数都成立。有兴趣的同学可以试着解一下。
最后来看第三问。
要求Sn的极限，那么需要先求出Sn的表达式，即将第二问得到的an的表达式代入题干中，化简后得到Sn的表达式。需要注意的是，题目规定0＜b＜1，所以b=1的情况就不需要计算了。
因为0＜b＜1，所以当n趋近于正无穷大时，b^n=0。又因为1/2＜1/(1+b)＜1，所以当n趋近于正无穷大时，[1/(1+b)]^n=0。从而得到Sn的极限为1。
本题的一三问比较简单，第二问难度较大，你觉得呢？
