当前位置:首页 > 高考

2003年高考数学真题, 解不等式, 这题不会考大学就难了

大家好!本文和大家分享一道2003年高考数学真题。本题是2003年高考全国卷文史类数学试卷的第一道填空题,解不等式:√(4x-x^2)<x。这道题的难度并不大,如果这道题都不会,那么考大学真的就难了。不少同学看到题目后也说很简单,但是很多同学还是做错了。

在求解这个不等式之前,先和大家分享两个比较常见的错误解法。

错解一:

不少同学看到这是个根式不等式,于是两边直接平方,从而得到4x-x^2<x^2。整理得:x^2-2x>0,解这个关于x的一元二次不等式得到x>2或x<0。

错解二:

一些同学分析后在错解一的基础上进行了完善。因为出现了二次根式,所以被开方数为非负数,所以增加了4x-x^2≥0这个限制条件,即原不等式转化为4x-x^2<x^2且4x-x^2≥0。

错解分析:

上面两种常见的错误解法的根源在于对基础知识的掌握不牢。

错解二虽然在错解一上进行了完善,添加了被开方数为非负数的条件,但是仍然没有考虑完所有的限制条件,最终出现的情况就是答案对了而过程错了。过程错答案对仅仅是一种巧合,在平时的学习中更重要的是掌握解题的方法,而不是答案。

接下来和大家分享两种正确的解法。

解法一:平方法

前面两种错误解法的大方向没有问题,这种简单的根式不等式可以通过平方求解。但是,在求解过程中一定要注意限制条件。本题中的限制条件实际上有两个,一是被开方数为非负数,即4x-x^2≥0;二是不等式右边的x为正数,即x>0。

第二个限制条件是很容易被忽略的,一些同学也想不明白为何会有这个限制。因为不等式左边一定是非负数,既然非负数要小于一个数,那么这个数只能是正数,所以就有了x>0这个限制条件。

在这两个限制条件下再进行平方,然后就构成了一个关于x的不等式组,解出这个不等式组就是原不等式的解集了。

解法二:数形结合

数形结合是中学数学非常重要的一个方法,也是中学生应该掌握的解题技巧之一。

数形结合的关键是要画出满足条件的图形。本题中,如果将不等式左右两边分别看成一个函数,即函数y=√(4x-x^2)和函数y=x,那么右边的函数y=x的图像很容易画出来,关键就是函数y=√(4x-x^2)的图像。

先将y=√(4x-x^2)两边平方,得到y^2=4x-x^2,整理后可以得到(x-2)^2+y^2=4,这就是一个圆的标准方程。又因为y≥0,所以不等式左边的函数的图像就是一个半圆。最后,结合图像就能求出原不等式的解集。

这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?

本文来自网络,不代表教育资讯立场,转载请注明出处。