大家好！本文和大家分享一道2010年高考新课标全国卷的数学真题。这道题考查的是椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的离心率以及直线与椭圆的位置关系等知识。这道题的分值为12分，难度并不算大，但是当年不少考生却得了0分。下面我们一起来看一下这道题。
先看第一小问：求椭圆的离心率。
求离心率，也就是求c与a的比值，所以需要求出a与c或者a与b之间的关系。怎么求呢？
因为线段AB是椭圆的一条弦，那么就可以想到弦长公式。
根据题意，直线l的方程为y=x+c，代入椭圆方程消去y，整理可以得到一个关于x的一元二次方程。接下来由弦长公式和韦达定理就可以再得到一个|AB|的值，从而得到一个关于a、b、c的方程，从而求出a^2=2b^2，进一步就可以求出椭圆的离心率了。
再看第二小问：求椭圆的标准方程。
(1)已经求出了a、b、c之间的关系，所以只需要一个条件就可以求出a、b、c的值了。第二问中又增加了一个条件，即|PA|=|PB|，那么如何充分利用这个条件进行呢？如果直接用两点间的距离公式进行计算，那么计算量将会非常大，所以需要换个思路来解决。
点A、B是弦AB的端点，而点P到线段两端点的距离相等，那么点P就在线段AB的垂直平分线上，且线段AB的垂直平分线的斜率为-1，即点P与线段AB中点所在直线的斜率为-1。所以接下来就需要求出线段AB的中点坐标。
设AB的中点为Q(x0,y0)，由(1)中直线l与椭圆方程联立得到的一元二次方程可得：x0=(-a^2c)/(a^2+b^2)，而a^2=2b^2，所以x0=-2c/3，也则y0=x0+c=c/3。由于直线PQ的斜率为-1得(c/3+1)/(-2c/3)=-1，解得c=3。
当然，这道题涉及到中点弦问题，所以也可以用点差法进行求解，有兴趣的同学也可以尝试一下。
