大家好！本文和大家分享一道2000年高考数学真题。这道题综合考查了含参不等式、函数的单调性、求参数的取值范围等知识。不少同学看到题目后的第一感觉就是简单，但是做完题后的正确率却让人很意外，特别是第一小问的正确率不到20％。这是怎么回事呢？
先看第一小问：解不等式。
这是一个含有根式的含参不等式，而不少同学看到根式就想到了直接平方处理。平方法确实是处理根式不等式的重要方法，但是在平方之前首先挖出其中的一些隐藏条件。比如本题如果移项后直接平方，那么整理过后可以得到(a^2-1)x^2+2ax≥0，接下来再按照含参的一元二次不等式求解。
上面是很多同学采用的解法，但是这个解法是有问题的，因为这个解法忽略了这个根式不等式隐藏的限制条件，即1+ax必须为非负数。
这道题的正确解法如下：
由题意知，√(x^2+1)-ax≤1，即√(x^2+1)≤1+ax。由于√(x^2+1)≥1，所以就有1≤1+ax，即ax≥0。又因为a＞0，所以x≥0。不少同学没有想到这个限制条件，而是直接用1+ax≥0来求解，那么后面的讨论将会非常复杂。
在得到x≥0的前提下，平方后的不等式就可以两边同时除以x，从而变成(a^2-1)x+2a≥0这样一个一元一次不等式，求解起来就更加简单了。
再看第二小问：求参数a的取值范围。
利用函数单调性求参数取值范围，常用的方法有两种：一是定义法，二是导数法。下面先看定义法求解。
首先在题目给定的范围内取两个值x1、x2，即设0≤x1＜x2；接着再做函数值之差，即f(x1)-f(x2)；然后对做出的函数值之差变形，常用的变形方法有分子分母有理化、通分、因式分解等，变形的结果就是得到几个式子乘积的形式；最后根据函数的单调性来讨论参数的取值范围。
再看用导数法求解。
由f(x)=√(x^2+1)-ax可得，f'(x)=x/√(x^2+1)-a。由于x≥0，那么0＜x/√(x^2+1)＜1，所以，当a大于等于1时，f'(x)＜0，即此时f(x)必为减函数。而当0＜a＜1时，由f'(x)=0得x=1/(1-a^2)，当0＜x＜1/(1-a^2)时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数，当x＞1/(1-a^2)时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数，即f(x)在[0,+∞)不是单调函数，所以a≥1。
这道题看起来确实挺简单，但是第一小问那个带根号的含参不等式却难住了很多同学，不过好在第一小问做错了也不会影响第二小问。如果是你，你能正确做出第一小问吗？
